대수적 위상수학에서 보편 계수 정리(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
-가군 ![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 각 성분이
-평탄 가군인 사슬 복합체 ![{\displaystyle (C_{\bullet },\partial )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34cf2f7480a595a4d1957b1d923b31806d4c8c8)
호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.
![{\displaystyle E_{p,q}^{2}=\operatorname {Tor} _{p}^{R}(\operatorname {H} _{q}(C_{\bullet }),M)\Rightarrow _{p}\operatorname {H} _{p+q}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c667a362e70b6e68c87b3f19b64a0127540d8bab)
여기서 Tor는 Tor 함자이다.
특히,
가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면
에 대하여
이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.[1]:47, Theorem 2.34
![{\displaystyle 0\to \operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{\mathbb {Z} }M=\operatorname {Tor} _{0}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;R),M\right)\to \operatorname {H} _{i}(X;M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;\mathbb {Z} ),M\right)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9680903eb37fa3e58a0aa6c21753a6f21737b69b)
그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉,
은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다.
![{\displaystyle {\frac {F_{p}\operatorname {H} _{i}(X;M)}{F_{p-1}\operatorname {H} _{i}(X;M)}}=\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;R),M\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a724abe5e1e7e1d36e4473b0d9c0e753432f3fb3)
특히,
가 주 아이디얼 정역이며 추가로
이 평탄 가군이라고 하자. (만약
라면, 이는
이 꼬임 부분군이 없는 아벨 군이라는 조건이다.) 그렇다면
이며, 따라서
![{\displaystyle \operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{\mathbb {Z} }M\cong \operatorname {H} _{i}(X;M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466f3607a5d1d5b5b55fe13e4be29f014a0a0b90)
이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)
-가군 ![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 각 성분이
-자유 가군인 사슬 복합체 ![{\displaystyle (C_{\bullet },\partial )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34cf2f7480a595a4d1957b1d923b31806d4c8c8)
코호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{R}^{p}(\operatorname {H} _{q}(X;R),M)\Rightarrow _{p}\operatorname {H} ^{p+q}(X;M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33b89bf3dddcc0dd6b413685ce635985e61b91d)
여기서 Ext는 Ext 함자이다.
특히,
가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면
에 대하여
이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.[1]:44, Theorem 2.29
![{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}\left(\operatorname {H} _{i-1}(C_{\bullet }),M\right)\to \operatorname {H} ^{1}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)\to \hom _{R}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)=\operatorname {Ext} _{R}^{0}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba924a114eed7d681bb6879320ac89338b21c2a)
그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다.
즉,
은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.
![{\displaystyle {\frac {F^{p}\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}{F^{p+1}\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}}=\operatorname {Ext} _{R}^{p}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d4ce9a2d47d333f3c4cadf4f00d5d5116ab8e8)
특히,
가 주 아이디얼 정역이며 추가로
이 단사 가군이라고 하자. (만약
라면, 이는
이 나눗셈군이라는 조건이다.) 그렇다면
이며, 따라서
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)\cong \hom _{R}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8c5febee1b81dd3f6b71c8cfdce76c2b1a4c0b)
이다.