파라콤팩트 공간: 두 판 사이의 차이
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* 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}} |
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한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 [[유전적 성질]]이 아니다. 또한, [[콤팩트 공간]]들을 모으면 [[티호노프 정리]]에 의해 그 곱공간 역시 [[콤팩트 공간]]이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.<ref name="Munkres"/>{{rp|253}} |
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=== 하우스도르프 파라콤팩트 공간 === |
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2015년 11월 29일 (일) 17:20 판
일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 단위 분할의 존재를 증명하기 위하여 필요한, 콤팩트 공간의 개념의 일반화이다. 수학에서 흔히 사용되는 대부분의 공간은 파라콤팩트 공간이며, 파라콤팩트성을 가정하면 단위 분할을 통해 해석학적 구조를 쉽게 정의할 수 있다.
정의
파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.[1]:68
X의 열린 덮개 가 국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 가 존재하여 유한 개의 에 대해서만 을 만족한다는 의미이다.[1]:68
성질
파라콤팩트성은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.
한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.[2]:253
콤팩트성과의 관계
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
- 파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
- 준파라콤팩트 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- (모리타의 정리 영어: Morita’s theorem) 정규 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.[3][2]:257 특히, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 제2 가산 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- 국소 콤팩트 연결 위상군은 파라콤팩트 공간이다.[2]:261
하우스도르프 파라콤팩트 공간
파라콤팩트 공간에 하우스도르프 공간의 조건을 추가하면, 여러 유용한 성질들이 성립한다. 이 가운데 가장 중요한 것인 디외도네 정리(영어: Dieudonne’s theorem)에 따르면, 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.[2]:253 모리타 정리와 디외도네 정리로부터, 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치임을 알 수 있다.
하우스도르프 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 파라콤팩트성은 미분기하학에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.
또한, 스미르노프 거리화 정리에 따르면, 임의의 위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:261
- 파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간이다.
- 거리화 가능 공간이다.
따라서, 파라콤팩트 공간의 개념은 거리화 가능성과 밀접하게 연관되어 있다. 특히, 모든 거리 공간은 파라콤팩트 공간이다.
이 밖에도, 파라콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 다음이 성립한다.
- 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 완전 사상(영어: perfect map)이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.[2]:260
- 정규 하우스도르프 공간의 유한 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.[2]:260
- 정규 하우스도르프 공간 속의 가산 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 내부가 이루는 집합족이 X의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.[2]:260
예
긴 직선은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.
역사
1940년에 존 윌더 튜키(영어: John Wilder Tukey)는 "완전 정규 공간"(영어: fully normal space)이라는 개념을 정의하였다.[4][5]:165 1944년에 프랑스의 수학자 장 디외도네는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.[6][5]:165 1948년에 아서 해럴드 스톤(영어: Arthur Harold Stone)은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 서로 동치임을 증명하였다.[7][5]:165
모리타의 정리는 모리타 기이치(틀:Ja-y)가 1948년에 증명하였다.[3][5]:165
참고 문헌
- ↑ 가 나 조용승 (2010). 《위상수학》. 경문사.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
- ↑ 가 나 Morita, Kiiti (1948). “Star-finite coverings and the star-finite property”. 《Mathematica Japonicae》 1: 60-68. Zbl 0041.09704.
- ↑ Tukey, John W. (1940). “Convergence and Uniformity in Topology”. Annals of Mathematics Studies 2. Princeton University Press. MR 0002515.
- ↑ 가 나 다 라 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
- ↑ Dieudonné, Jean (1944). “Une généralisation des espaces compacts”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. ISSN 0021-7824. MR 0013297.
- ↑ Stone, A. H. (1948년 10월). “Paracompactness and product spaces” 54 (10). doi:10.1090/S0002-9904-1948-09118-2. ISSN 0273-0979. MR 0026802. Zbl 0032.31403.
바깥 고리
- “Paracompact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Paracompact space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Paracompact topological space”. 《nLab》 (영어).
- “Paracompact space”.
- “Cartesian products of two paracompact spaces”. 2012년 11월 8일.