일차 함수

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일차 함수 그래프의 예시

수학에서, 일차 함수(一次函數, 영어: linear function)는 최고 차수가 1 이하인 다항 함수이다. 즉, 그래프직선함수이다. 정비례 함수(正比例函數 영어: directly proportional function)는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점을 지나는 직선인 함수이다.

정의[편집]

일차 함수정의역공역실수집합인, 다음과 같은 꼴의 함수이다.

여기서 는 임의의 실수이다. 정비례 함수는 다음과 같은 꼴의 특수한 일차 함수이다.

여기서 는 임의의 실수이다.

성질[편집]

일차 함수 직교 좌표계에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수 의 그래프는 원점을 지나는 수직이 아닌 직선이다.

기울기[편집]

일차 함수 기울기 왼쪽에 붙은 상수 를 뜻하며, 이를 구하는 공식은 여러 가지가 있다. 먼저, 일차 함수의 그래프 위의 두 점 를 취했을 때, 기울기는 독립 변수의 값과 종속 변수의 값의 변화량의 와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의 축을 반대 시계 방향으로 회전해야 하는 각도를 라고 할 때, 는 이 각도의 탄젠트와 같다. 사실, 미분이기도 하다.

일차 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.

  • 일차 다항식이다.
  • 의 그래프는 수평선이 아니다.
  • 강한 단조 함수이다.
  • 전단사 함수이다.

영점[편집]

일차 함수 영점일차 방정식 의 해와 같다. 즉, 그래프가 축과 만나는 점의 좌표이다.

  • 일 경우, 의 영점은 가 유일하다. 즉, 의 그래프는 축과 유일한 교점 을 갖는다.
  • 일 경우, 의 영점은 존재하지 않는다. 이 경우 의 그래프는 수평선이며, 축과 거리 만큼 떨어져 있다.
  • 일 경우, 모든 실수가 의 영점이다. 즉, 의 그래프는 축과 겹쳐진다.

일차 함수 의 0에서의 함숫값은 이다. 이는 의 그래프가 축과 만나는 점의 좌표와 같다.

단조성[편집]

일차 함수 는 항상 단조 함수이다. 이면 강한 증가 함수, 이면 강한 감소 함수, 이면 상수 함수이다.

아핀성과 선형성[편집]

함수 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의 에 대하여,
  • 임의의 도함수 에 대하여, 역시 도함수이다.
  • 는 일차 함수이다.

함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의 에 대하여,
  • 는 정비례 함수이다.

이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 아핀 변환이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 선형 변환이다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]