유리 사상

대수기하학에서 유리 사상(有理寫像, 영어: rational map)은 “거의 어디서나” (즉, 조밀 열린 부분 스킴)에서 정의되는 스킴 사상이다. 이를 통해, 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent), 즉 두 스킴의 “거의 어디서나” 동형의 개념을 정의할 수 있다.

정의[편집]

유리 사상[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

두 스킴 $X$ , $Y$
$X$ 의 조밀 열린 부분 스킴 $U,U'\subseteq X$
연속 함수 $f\colon U\to Y$ , $f'\colon U'\to Y$

만약 다음 조건을 만족시키는 $V$ 가 존재한다면, $f$ 와 $f'$ 이 서로 유리 동치라고 하자.

$V$ 는 $X$ 의 조밀 열린 부분 스킴이다.
$V\subseteq U\cap U'$ 이다.
(스킴 사상으로서) $f\upharpoonright V=f'\upharpoonright V$ 이다.

$X$ 의 조밀 열린 부분 스킴을 정의역으로 하고, $Y$ 를 공역으로 하는 ${\mathcal {S}}$ -스킴 사상들의 집합 ${\mathcal {S}}_{X,Y}$ 를 생각하자. 그렇다면, 위 관계는 ${\mathcal {S}}_{X,Y}$ 위의 동치 관계를 이룬다. 이에 대한 몫집합 ${\mathcal {S}}_{X,Y}/\sim$ 의 원소를 $X\to Y$ 유리 사상이라고 한다.^[1]^:23

스킴 $X$ 위의 항등 유리 사상은 $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ 의 동치류이다.

우세 유리 사상[편집]

일반적으로, 유리 사상은 합성할 수 없다. 이 문제를 해결하려면, 우세 유리 사상의 개념을 도입해야 한다.

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 그 치역이 공역 $Y$ 의 조밀 집합이라면, $f$ 를 우세 함수(영어: dominant map)라고 한다.

두 스킴 $X$ , $Y$ 사이의 유리 사상 $[f]$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유리 사상을 우세 유리 사상(優勢有理寫像, 영어: dominant rational map)이라고 한다.^[1]^:23

동치류 $[f]$ 의 원소 가운데 적어도 하나 $f\colon U\to Y$ 에 대하여, $f$ 는 우세 함수이다.
동치류 $[f]$ 의 모든 원소는 우세 함수이다.

두 기약 스킴 사이의 우세 유리 사상은 합성이 가능하며, 항등 유리 사상은 우세 유리 사상이다. 따라서, 기약 스킴과 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, $K$ -대수다양체와 우세 유리 사상들은 범주를 이룬다.

쌍유리 사상[편집]

기약 스킴과 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 쌍유리 사상(雙有理寫像, 영어: birational map)이라고 한다. 마찬가지로, 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, $K$ -대수다양체와 우세 유리 사상의 범주의 동형 사상을 $K$ -쌍유리 사상이라고 한다.^[1]^:24

쌍유리 동치[편집]

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 두 $K$ -대수다양체 $X$ , $Y$ 사이에 다음 조건들이 서로 동치이며,^[1]^{:26, Corollary 4.5} 이를 만족시키는 두 대수다양체를 서로 쌍유리 동치(雙有理同値, 영어: birationally equivalent)라고 한다.^[1]^:24

$X$ 와 $Y$ 사이에 쌍유리 사상이 존재한다.
서로 동형인 (자리스키) 열린 집합 ${\tilde {X}}\subset X$ , ${\tilde {Y}}\subset Y$ 가 존재한다.
$X$ 위의 유리 함수체 ${\mathcal {K}}_{X}(X)$ 와 $Y$ 위의 유리 함수체 ${\mathcal {K}}_{Y}(Y)$ 는 $K$ -대수로서 서로 동형이다.