초평면 (수학)

수학에서 초평면(超平面, 영어: hyperplane)은 3차원 공간 속의 평면을 일반화하여 얻는 개념이다.

정의

벡터 초평면

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 부분 벡터 공간 $H\subseteq V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $H$를 $V$의 벡터 초평면(vector超平面, 영어: vector hyperplane)이라고 한다.

• 몫벡터 공간 $V/H$의 차원은 1이다.
• 극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.^{:109, Theorem 19}
  • $H\neq V$
  • 임의의 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$에 대하여, 만약 $H\subseteq W$라면, $W=H$이거나 $W=V$이다.
• 다음 조건을 만족시키는 쌍대 공간 원소 $f\in V^{*}$가 존재한다.^{:109, Theorem 19}
  • $f\neq 0$
  • $\ker f=H$ (여기서 $\ker$는 핵이다.)

증명:

우선 $H$가 $V$의 극대 진부분 벡터 공간라고 가정하자. 임의의 $v\in V\setminus H$를 고정하자. 그렇다면 다음과 같은 직합 분해가 성립한다.

$V=H\oplus \operatorname {Span} \{v\}$

따라서, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 쌍대 공간 원소 $f\in V^{*}$를 정의할 수 있다.

$f|_{H}=0$

$f(v)=1$

이 경우 $f(v)=1$이므로 $f\neq 0$이며, 또한 $\ker f=H$이다.

반대로 $f\neq 0$와 $\ker f=H$를 만족시키는 쌍대 공간 원소 $f\in V^{*}$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 $f\neq 0$이므로 $H\neq V$이다. 임의의 $v\in V\setminus H$를 고정하자. 그렇다면, 임의의 $u\in V$에 대하여,

$u-{\frac {f(u)}{f(v)}}v\in H$

이므로

$u\in \operatorname {Span} (H\cup \{v\})$

이다. 따라서

$\operatorname {Span} (H\cup \{v\})=V$

이며, $H$는 $V$의 극대 진부분 벡터 공간이다.

아핀 초평면

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 부분 아핀 공간 $H\subseteq A$가 주어졌다고 하자. 만약 $H$ 위의 평행 이동들의 벡터 공간 $\operatorname {V} (H)$이 $V$ 위의 평행 이동들의 벡터 공간 $\operatorname {V} (A)$의 벡터 초평면이라면, $H$를 $A$의 아핀 초평면(affine超平面, 영어: affine hyperplane)이라고 한다.

사영 초평면

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$으로부터 유도되는 사영 공간 $\operatorname {P} (V)$의 사영 초평면(射影超平面, 영어: projective hyperplane)은 벡터 초평면 $H\subseteq V$으로부터 유도되는 부분 사영 공간 $\operatorname {P} (H)\subseteq \operatorname {P} (V)$이다.

성질

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$의 부분 벡터 공간 $H\subseteq V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $H$는 벡터 초평면이다.
• $\dim H=\dim V-1$

외부 링크

• “Hyperplane”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyperplane”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hyperplane”. 《nLab》 (영어). 
• “Hyperplane”. 《PlanetMath》 (영어).