추상대수학에서 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛[*])은 환 또는 모노이드에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.
모노이드
의 원소
의 역원(영어: inverse)
는
![{\displaystyle xy=yx=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea7e4ea71251cf6a48485617762530775f0a027)
이 되는 원소
이다. 주어진 원소의 역원은 유일한데, 이는 만약
이 두 역원
을 갖는다면
가 되기 때문이다.
모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 한다. 모노이드
의 가역원들로 구성된 부분 집합
![{\displaystyle \operatorname {Unit} (M)=\{x\in M\colon \exists y\in M\colon xy=yx=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440b221e366cd62c3f6c665c3d253389689f49a2)
은
의 부분 모노이드이자 군을 이루며, 이를
의 가역원군(영어: group of invertible elements, group of units)이라고 하며,
또는
또는
으로 표시한다.
환의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다.
범주론적 관점에서, 모노이드는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 생각할 수 있으며, 이 경우 모노이드의 원소들은 유일한 대상의 자기 사상들에 대응한다. 이 경우, 가역원은 모노이드의 동형 사상과 같으며, 가역원군은 유일한 대상의 자기 동형군과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상의 개념의 특수한 경우이다.
임의의 작은 범주는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 가역원군을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주에서 동형 사상이 아닌 사상들을 삭제하면 준군을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다.
환 달린 공간
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 열린집합
에 대하여
![{\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\left(\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\right)^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0002bef01a7aee6f24885600f01aa895bc1109e)
![{\displaystyle \operatorname {res} _{U,V}^{{\mathcal {O}}_{X}^{\times }}=\operatorname {res} _{U,V}^{{\mathcal {O}}_{X}}|_{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})^{\times }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b1f37b38e78b5e56db803730b9201fd8252cda)
인 아벨 군 값의 층
가 존재하며, 이를
의 가역원층(可逆元層, 영어: sheaf of units)이라고 한다. (여기서
는 층의 단면군을 뜻하며,
는 두 층 단면군 사이의 제한 준동형을 뜻한다.)
환
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
![{\displaystyle R^{\times }=R\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64ab9097c195c7478ce8be8ac22dd2b427e0f07)
는 나눗셈환이다.
환
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
가 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.
는 국소환이다.
환
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
이다.
이다.
는 자명환이다.
이는 만약 0이 역원을 갖는다면
이 되기 때문이다.
이다.
- 나눗셈환의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어,
이다.
- 체
에 대한 행렬환
의 가역원군은 일반선형군
이다. 이는 가역행렬로 구성된 군이다.
- 대수기하학에서, 스킴
의 구조층
의 가역원층
계수의 1차 층 코호몰로지
는
의 피카르 군이라고 한다.