절단점

숫자 8 모양의 도형의 목 부분은 차수 2의 절단점이다.

일반위상수학에서 절단점(切斷點, 영어: cut-point)은 연결 공간을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다.

정의

연결 공간 $X$의 점 $x\in X$의 절단점 차수(切斷點次數, 영어: cut-point order)는 $X\setminus \{x\}$의 연결 성분들의 수이다. 연결 공간 $X$의 점 $x\in X$의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해, $X\setminus \{x\}$가 비연결 공간이라면), $x$를 $X$의 절단점이라고 한다. 절단점 공간(切斷點空間, 영어: cut-point space)은 모든 점이 절단점인 연결 공간이다.

연결 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 연결 순서 위상 공간(連結順序位相空間, 영어: connected ordered topological space) 또는 COTS라고 한다.

• 임의의 세 원소 부분집합 $S\subseteq X$에 대하여, $S\setminus \{s\}$의 두 원소가 $X\setminus \{s\}$의 서로 다른 두 연결 성분에 속하게 되는 $s\in S$가 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점 $x,y\in X$가 존재한다면, $X$를 끝점 공간(-連結空間, 영어: topological space with endpoints)이라고 한다.

• 임의의 $z\in X\setminus \{x,y\}$에 대하여, $x\in U\not \ni y$인 $X\setminus \{z\}$의 열린닫힌집합 $U\subseteq X\setminus \{z\}$가 존재한다.

성질

연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.^{:2799, Theorem 3.2}

증명:

연결 공간 $X$의 절단점 $x\in X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $X\setminus \{x\}$의 열린닫힌집합 $\varnothing \subsetneq A\subsetneq X\setminus \{x\}$가 존재하며, 이에 대하여

$A=U\setminus \{x\}=F\setminus \{x\}$

인 $X$의 열린집합 $U$ 및 닫힌집합 $F$가 존재한다. $X$가 연결 공간이므로 $U\neq F$일 수밖에 없다. 따라서 $\{x\}=U\setminus F$이거나 $\{x\}=F\setminus U$이다. 만약 $\{x\}=U\setminus F$가 참이라면 $\{x\}$는 열린집합이다. 만약 $\{x\}=F\setminus U$가 참이라면 $\{x\}$는 닫힌집합이다.

크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 무한 집합이다.^{:2800, Corollary 3.8} 이는 아래 두 성질의 공통적인 특수한 경우이다.
• 무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.^{:2800, Theorem 3.7}
• 콤팩트 공간이 아니다.^{:2800, Corollary 3.10} 보다 일반적으로, 크기 2 이상의 콤팩트 연결 공간은 적어도 두 개의 비절단점을 갖는다.^{:2800, Theorem 3.9}

증명 (무한한 수의 닫힌 점의 존재):

크기 2 이상의 절단점 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점 $x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc \in X$를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여, $n-1$개의 열린집합 $U_{1},\dotsc ,U_{n-1}\subseteq X$ 및 $n-1$개의 열린집합 $V_{1},\dotsc ,V_{n-1}\subseteq X$ 및 서로 다른 $n-1$개의 닫힌 점 $x_{1},\dotsc ,x_{n-1}\in X$가 주어졌으며, 또한

$\forall i\in \{1,\dotsc ,n-1\}\colon X\setminus \{x_{i}\}=U_{i}\cup V_{i}$

$\forall i\in \{1,\dotsc ,n-1\}\colon U_{i}\cap V_{i}=\varnothing \neq U_{i},V_{i}$

$\forall i\in \{2,\dotsc ,n-1\}\colon x_{i}\in U_{i-1}$

$U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \dotsb \supseteq U_{n-1}$

이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

$V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}$은 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합 $\varnothing \subsetneq V\subsetneq V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}$이 주어졌다고 하자. 편의상 $x_{n-1}\not \in V$라고 하자. (만약 $x_{n-1}\in V$라면 $V$를 그 여집합 $(V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\})\setminus V$로 대체한다.) $V$가 $V_{n-1}$의 열린집합이며, $V_{n-1}$는 $X$의 열린집합이므로, $V$는 $X$의 열린집합이다. 마찬가지로, $V$가 $V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}$의 닫힌집합이며, $V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}=X\setminus U_{n-1}$가 $X$의 닫힌집합이므로, $V$는 $X$의 닫힌집합이다. 이는 $X$의 연결성과 모순이다.

닫힌 점 $x_{n}\in U_{n-1}$이 존재. 귀류법을 사용하여, $U_{n-1}$ 속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의 $x\in U_{n-1}$에 대하여, $\{x\}$가 닫힌집합이 아니며, $U_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}$이 닫힌집합이며, $U_{n-1}$은 고립점들로 이루어지므로, $x_{n-1}\in \operatorname {cl} \{x\}$이다. 따라서 $\{x,x_{n-1}\}$은 연결 공간이다. $V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}$ 역시 연결 공간이므로, $x'\in U_{n-1}$에 대하여,

$X\setminus \{x'\}=V_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}\cup \bigcup _{x'\neq x\in U_{n-1}}\{x,x_{n-1}\}$

은 연결 공간이다. 즉, $x'$은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.

$X\setminus \{x_{n}\}=U_{n}\cup V_{n}$이며 $U_{n}\cap V_{n}=\varnothing \neq U_{n},V_{n}$이며 $x_{n-1}\in V_{n}$인 $X$의 열린집합 $U_{n},V_{n}$가 존재. 이는 $x_{n}$이 닫힌 절단점이며, $x_{n-1}\neq x_{n}$이기 때문이다. 만약 $x_{n-1}\in U_{n}$이라면 $U_{n}$과 $V_{n}$을 교환한다.

$U_{n}\subseteq U_{n-1}$. $U_{n}\cup \{x_{n}\}$이 연결 공간이며, $U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq X\setminus \{x_{n-1}\}$이므로, $U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq U_{n-1}$이거나 $U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq V_{n-1}$인데, $x_{n}\in U_{n-1}$이다. 따라서 $U_{n}\cup \{x_{n}\}\subseteq U_{n-1}$이다.

$x_{n}\not \in \{x_{1},\dotsc ,x_{n-1}\}$. 임의의 $i\in \{1,\dotsc ,n-1\}$에 대하여, $x_{i}\not \in U_{i}$이므로 $x_{i}\not \in U_{n-1}$이며, 또한 $x_{n}\in U_{n-1}$이다. 따라서 $x_{n}\neq x_{i}$이다.

증명 (비콤팩트성):

1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간 $X$가 콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다. $X$의 절단점의 집합은 $X$ 전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점 $x_{0}\in X$가 존재한다. $A,B\subseteq X$가 열린집합이며, 또한 $X\setminus \{x_{0}\}=U\cup V$이며 $U\cap V=\varnothing$이며 $U,V\neq \varnothing$이라고 하자. 그렇다면, $U$와 $V$ 가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상 $U$의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,

${\mathcal {S}}=\{W\in \operatorname {Open} (X)\colon V\subseteq W\land |{\operatorname {cl} W\setminus W}|=1\land \operatorname {cl} W\neq X\}$

라고 하고, ${\mathcal {S}}$ 위에 다음 부분 순서를 주자.

$W\leq W'\iff W=W'\lor \operatorname {cl} W\subseteq W'$

그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.

${\mathcal {S}}$는 극대 사슬 ${\mathcal {C}}\neq \varnothing$를 가짐. $X$가 연결 공간이므로 $V$는 닫힌집합이 아니며, $U$가 열린집합이므로 $V\cup \{x_{0}\}$은 닫힌집합이다. 따라서 $\operatorname {cl} V=V\cup \{x_{0}\}$이며, $V\in {\mathcal {S}}$이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬 $\varnothing \neq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {S}}$가 존재한다.

${\mathcal {S}}$는 극대 원소를 갖지 않음. 임의의 $W\in {\mathcal {S}}$가 주어졌다고 하고, $\operatorname {cl} W\setminus W=\{y_{W}\}$라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점 $z_{W}\in X\setminus \operatorname {cl} W$가 존재한다고 단언한다. $X\setminus \operatorname {cl} W$의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의 $y\in X\setminus \operatorname {cl} W$에 대하여, $\{y\}$은 닫힌집합이 아니며 $(X\setminus \operatorname {cl} W)\cup \{y_{W}\}=X\setminus W$는 닫힌집합이며 $X\setminus \operatorname {cl} W$의 모든 점은 고립점이므로, $\operatorname {cl} \{y_{W}\}=\{y_{W},y\}$이며, 따라서 $\{y_{W},y\}$는 연결 공간이다. 임의의 $\varnothing \subsetneq A\subsetneq \operatorname {cl} W$에 대하여, $A$는 $X$의 열린닫힌집합이 아니며, $W$와 $\operatorname {cl} W$는 각각 $X$의 열린집합과 닫힌집합이므로, $A$와 $X\setminus A$ 가운데 $W$에 속하는 한 집합은 $\operatorname {cl} W$의 열린닫힌집합이 아니다. 즉, $\operatorname {cl} W$는 연결 공간이다. 따라서, 임의의 $y'\in X\setminus \operatorname {cl} W$를 취했을 때,

$X\setminus \{y'\}=\operatorname {cl} W\cup \bigcup _{y'\neq y\in X\setminus \operatorname {cl} W}\{y_{W},y\}$

는 연결 공간이다. 즉, $y'$은 절단점이다. 이는 $y'\in U$인 것과 모순이다. 이제, $z_{W}$가 닫힌 절단점이므로, $W',W''$이 $X$의 열린집합이며, $X\setminus \{z_{W}\}=W'\cup W''$이며 $W'\cap W''=\varnothing \neq W',W''$이라고 하자. $\operatorname {cl} W\subseteq X\setminus \{z_{W}\}$가 연결 공간이므로, $\operatorname {cl} W\subseteq W'$이거나 $\operatorname {cl} W\subseteq W''$이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면, $V\subseteq W'$이며 $\operatorname {cl} W'=W'\cup \{z_{W}\}$이므로, $W'\in {\mathcal {S}}$이다. 즉, $W<W'$이며, $W$는 극대 원소가 아니다.

$\bigcup {\mathcal {C}}$는 콤팩트 공간이 아님. 열린 덮개 ${\mathcal {C}}$가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다. ${\mathcal {C}}$가 극대 원소를 갖지 않음을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, $W\in {\mathcal {C}}$가 ${\mathcal {C}}$의 극대 원소라고 하자. 그렇다면, $W<W'$인 $W'\in {\mathcal {S}}$가 존재한다. 그렇다면 ${\mathcal {C}}\cup \{W'\}$은 새로운 사슬이며, ${\mathcal {C}}$는 그 진부분집합이다. 이는 ${\mathcal {C}}$의 극대성과 모순이다.

$\bigcup {\mathcal {C}}=X$. 귀류법을 사용하여, $X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}$가 공집합이 아니라고 하자. $X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}\subseteq U$이므로, $X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}$의 모든 점은 절단점이며, 따라서 고립점이거나 닫힌 점이다. $X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}$는 닫힌집합이므로, 열린집합일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점 $x_{1}\in X\setminus \bigcup {\mathcal {C}}$가 존재한다. $G,H$가 $X$의 열린집합이며, $X\setminus \{x_{1}\}=G\cup H$이며, $G\cap H=\varnothing \neq G,H$라고 하자. 임의의 $W\in {\mathcal {C}}$는 ${\mathcal {C}}$의 극대 원소가 아니므로, $\operatorname {cl} W\subseteq W'$인 $W'\in {\mathcal {C}}$가 존재한다. 따라서,

$\bigcup {\mathcal {C}}=\bigcup _{W\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cl} W$

이다. 각 $\operatorname {cl} W$는 연결 공간이며, $V\subseteq \operatorname {cl} W$이므로, $\bigcup {\mathcal {C}}$는 연결 공간이다. 따라서, $\bigcup {\mathcal {C}}\subseteq G$이거나 $\bigcup {\mathcal {C}}\subseteq H$이다. 편의상 전자가 참이라고 하면, $V\subseteq G$이며 $\operatorname {cl} G=G\cup \{x_{1}\}$이므로, $G\in {\mathcal {S}}$이다. ${\mathcal {C}}$가 극대 원소를 갖지 않으므로, $G\not \in {\mathcal {C}}$이다. 이는 ${\mathcal {C}}$의 극대성과 모순이다.

예

유클리드 평면 $\mathbb {R} ^{2}$ 속의 $n$개의 직선이 절단점 공간일 필요충분조건은, 공점선이거나, $n-1$개의 직선이 평행하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.

실수

실수선 $\mathbb {R}$는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다.

• 모든 점의 절단점 차수가 2인 연결 국소 연결 분해 가능 거리화 가능 공간은 $\mathbb {R}$와 위상동형이다.
• 모든 점의 절단점 차수가 2이며, 모든 점의 여집합의 두 연결 성분들의 집합이 부분기저를 이루는 분해 가능 하우스도르프 공간은 $\mathbb {R}$와 위상동형이다.

2차원 이상의 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ ($n\geq 2$)은 연결 공간이지만, 절단점을 갖지 않는다.

기약 절단점 공간

정수 집합 $\mathbb {Z}$ 위에 다음과 같은 위상을 부여한 위상 공간을 칼림스키 직선(-直線, 영어: Khalimsky line)이라고 한다.

• 모든 홀수는 고립점이다.
• 모든 짝수 $n$은 최소 열린 근방 $\{n-1,n,n+1\}$을 갖는다.

즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 기저로 생성된다.

${\mathcal {B}}=\{\{2i+1\}\colon i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i-1,2i,2i+1\}\colon i\in \mathbb {Z} \}$

기약 절단점 공간(旣約切斷點空間, 영어: irreducible cut-point space)은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다.^{:2801, Theorem 4.5} 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.

증명 (칼림스키 직선은 기약 절단점 공간):

칼림스키 직선 $\mathbb {Z}$는 연결 공간. 짝수 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여, $\{n-1,n,n+1\}$은 $n$의 최소 근방이므로, $\{n-1,n\}$과 $\{n,n+1\}$은 연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라, $1\leq n\in \mathbb {Z}$에 대하여,

$\{-n,-n+1,-n+2,\dotsc ,n\}=\{-n,-n+1\}\cup \{-n+1,-n+2\}\cup \dotsb \cup \{n-1,n\}$

은 연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선

$\mathbb {Z} =\bigcup _{1\leq n\in \mathbb {Z} }\{-n,-n+1,-n+2,\dotsc ,n\}$

은 연결 공간이다.

모든 $n\in \mathbb {Z}$는 절단점. 이는 $\{k\in \mathbb {Z} \colon k<n\}$과 $\{k\in \mathbb {Z} \colon k>n\}$이 모두 $\mathbb {Z} \setminus \{n\}$의 열린집합이기 때문이다.

모든 진부분집합 $A\subsetneq \mathbb {Z}$는 연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선 $\mathbb {Z}$의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 ($m,n\in \mathbb {Z}$).

• $\{k\in \mathbb {Z} \colon k\leq n\}$
• $\{k\in \mathbb {Z} \colon k\geq n\}$
• $\{k\in \mathbb {Z} \colon m\leq k\leq n\}$

$A$가 연결 공간이라고 하자. 즉, $A$는 어떤 $m,n\in \mathbb {Z}$에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, $A\setminus \{n\}$ 역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉, $n$은 $A$의 비절단점이다.

증명 (기약 절단점 공간은 칼림스키 직선):

기약 절단점 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선 $\mathbb {Z}$에서 $X$로 가는 매장 $i\mapsto x_{i}$를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점 $x\in X$의 절단점 차수는 2라고 단언한다. $\varnothing \subsetneq A\subsetneq X\setminus \{x\}$가 $X\setminus \{x\}$의 열린닫힌집합이라고 하자. $A$와 $X\setminus A$가 연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여, $A$가 연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, $x$는 $A\cup \{x\}$의 절단점이다. 임의의 $y\in A$에 대하여,

$X\setminus \{y\}=((A\cup \{x\})\setminus \{y\})\cup ((X\setminus A)\cup \{x\})$

는 연결 공간이 아니며, $x\in ((A\cup \{x\})\setminus \{y\})\cap ((X\setminus A)\cup \{x\})$이므로, $(A\cup \{x\})\setminus \{y\}$와 $(X\setminus A)\cup \{x\}$ 가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데 $(X\setminus A)\cup \{x\}$가 연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $(A\cup \{x\})\setminus \{y\}$는 연결 공간이 아니며, $y$ 역시 $A\cup \{x\}$의 절단점이다. 즉, $A\cup \{x\}$는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.

이제, 닫힌 점 $x_{0}\in X$을 취하자. $A_{0}$와 $B_{0}$이 $X\setminus \{x_{0}\}$의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여,

$x_{-n+1},x_{-n+2},\dotsc ,x_{n-1}\subseteq X$

가 주어졌으며, 또한 각 $-n+1<i\leq n-1$에 대하여, $\{x_{i-1},x_{i}\}$가 연결 공간이라고 하자. 또한, 각 $X\setminus \{x_{i}\}$의 두 연결 성분이 $A_{i}$와 $B_{i}$라고 하고, $-n+1\leq i<0$인 경우 $x_{0}\in B_{i}$이며, $0<i\leq n-1$인 경우 $x_{0}\in A_{i}$라고 하자. 그렇다면, $\{x_{-n},x_{-n+1}\}$과 $\{x_{n-1},x_{n}\}$이 연결 공간인 $x_{-n}\in A_{-n+1}$ 및 $x_{n}\in B_{n-1}$이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다. $\{x_{n-1}\}$의 극한점 $x_{n}\in B_{n-1}$을 찾으면 족하다. 만약 $x_{n-1}$이 닫힌 점이라면, $B_{n-1}$이 연결 공간이며, $X$가 기약 절단점 공간이므로, $B_{n-1}$은 비절단점 $x_{n}\in B_{n-1}$을 갖는다. 즉, $B_{n-1}\setminus \{x_{n}\}$은 연결 공간이다. $B_{n-1}$은 열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며, $B_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}$은 닫힌집합이므로, $x_{n-1}$은 $B_{n-1}$의 극한점이다. 하지만 $X\setminus \{x_{n}\}=(B_{n-1}\setminus \{x_{n}\})\cup (A_{n-1}\cup \{x_{n-1}\})$이 연결 공간이 아니므로, $x_{n-1}$은 $B_{n-1}\setminus \{x_{n}\}$의 극한점일 수 없다. 따라서, $x_{n-1}$은 $\{x_{n}\}$의 극한점이다. 만약 $x_{n-1}$이 고립점이라면, $B_{n-1}$은 닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며, $B_{n-1}\cup \{x_{n-1}\}$은 열린집합이므로, $x_{n}\in B_{n-1}\setminus \operatorname {int} B_{n-1}$은 $\{x_{n-1}\}$의 극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로, $A_{-n}$과 $B_{-n}$이 $X\setminus \{x_{-n}\}$의 두 연결 성분이며, $A_{n}$과 $B_{n}$이 $X\setminus \{x_{n}\}$의 두 연결 성분이며, $x_{0}\in B_{-n}$이며 $x_{0}\in A_{n}$이라고 정의한다.

이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합

$\{\dotsc ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc \}\subseteq X$

및 각 $X\setminus \{x_{n}\}$의 두 연결 성분 $A_{n}$과 $B_{n}$을 생각하자. 정의에 따라 $n<0$인 경우 $x_{0}\in B_{n}$이며, $n>0$인 경우 $x_{0}\in A_{n}$이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

$x_{i}\in A_{n}\iff i<n$, $x_{i}\in B_{n}\iff i>n$. 편의상 $n>0$이라고 하자. 그렇다면,

$\{x_{i}\colon i<n\}=\bigcup _{k<n}(\{x_{k-1},x_{k}\}\cup \{x_{k},x_{k+1}\}\cup \dotsb \cup \{x_{n-2},x_{n-1}\})$

$\{x_{i}\colon i>n\}=\bigcup _{k>n}(\{x_{n+1},x_{n+2}\}\cup \{x_{n+2},x_{n+3}\}\cup \dotsb \cup \{x_{k},x_{k+1}\})$

은 둘 다 연결 공간이며, $x_{0}\in A_{n}$이며 $x_{n+1}\in B_{n}$이므로, $\{x_{i}\colon i<n\}\subseteq A_{n}$이며 $\{x_{i}\colon i>n\}\subseteq B_{n}$이다.

각 $x_{n}$은 $n$이 짝수인 경우 닫힌 점, $n$이 홀수인 경우 고립점. 정의에 따라 $x_{0}$은 닫힌 점이다. 만약 $\{x_{n}\}$이 닫힌집합이라면, $\{x_{n-1},x_{n}\}$와 $\{x_{n},x_{n+1}\}$이 연결 공간이므로, $\{x_{n-1}\}$과 $\{x_{n+1}\}$은 닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약 $\{x_{n}\}$이 열린집합이라면, $\{x_{n-1}\}$과 $\{x_{n+1}\}$은 닫힌집합이다.

부분집합 $\{x_{i}\colon i\in \mathbb {Z} \}$은 기저

${\mathcal {B}}'=\{\{x_{2i+1}\}\colon i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{x_{2i-1},x_{2i},x_{2i+1}\}\colon i\in \mathbb {Z} \}$

를 가짐. 홀수 $n$에 대하여, $x_{n}$이 고립점임은 이미 증명하였다. 짝수 $n$에 대하여, $x_{n}$은 $\{x_{n-1}\}$과 $\{x_{n+1}\}$의 극한점임을 증명하였으므로, $x_{n}$의 모든 열린 근방은 $x_{n-1}$과 $x_{n+1}$을 원소로 포함한다. 반대로, $A_{n}$과 $B_{n}$이 열린집합이므로,

$\{x_{n-1},x_{n},x_{n+1}\}=\{x_{i}\colon i\in \mathbb {Z} \}\cap A_{n}\cap B_{n}$

은 열린집합이다. 따라서, $\{x_{n-1},x_{n},x_{n+1}\}$은 $x_{n}$의 최소 열린 근방이다.

모든 점의 차수가 3인 절단점 공간

모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간에 매장될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 $X$는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합 $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$을 만들자.

• 수평 개구간 $(0,1)\times \{0\}$에서 시작한다.
• 각 이진 유리점 $((2m-1)/2^{n},0)\in (0,1)\times \{0\}$ 위에 수직 개구간 $\{(2m-1)/2^{n}\}\times (0,1/2^{n})$을 덧붙인다.
• 덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점 $((2m-1)/2^{n},(2i-1)/2^{j})$의 오른쪽에 수평 개구간 $((2m-1)/2^{n},(2m-1)/2^{n}+1/2^{j})\times \{(2i-1)/2^{j}\}$를 덧붙인다.
• 위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다.

그렇다면, $M$의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각 $\operatorname {ct} _{3}(M)$과 $\operatorname {ct} _{2}(M)=M\setminus \operatorname {ct} _{3}(M)$이라고 하자. 이제,

$X=\operatorname {ct} _{2}(M)^{*}\times M=M\cup \operatorname {ct} _{2}(M)\times M\cup \operatorname {ct} _{2}(M)\times \operatorname {ct} _{2}(M)\times M\cup \dotsb$

라고 하자 ($(-)^{*}$는 클레이니 스타). 또한, $x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})\in X$ 및 $\epsilon >0$에 대하여, 다음 집합을 정의하자.

$R(x,\epsilon )={\begin{cases}\{(x_{1},\dotsc ,x_{n-1})\}\times (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{2}}(x_{n},\epsilon )\cap \operatorname {ct} _{3}(M))&x_{n}\in \operatorname {ct} _{3}(M)\\\{x\}\cup \{(x_{1},\dotsc ,x_{n-1})\}\times (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{2}}(x_{n},\epsilon )\cap \operatorname {ct} _{3}(M))\cup \{x\}\times (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{2}}(0,\epsilon )\cap \operatorname {ct} _{3}(M))&x_{n}\in \operatorname {ct} _{2}(M)\end{cases}}$

그렇다면,

$\{R(x,\epsilon )\colon x\in X\land \epsilon >0\}$

은 $X$ 위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간 $X$은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 하우스도르프 공간이다.
• 연결 공간이다.
• 모든 점의 절단점 차수는 3이다.