이론물리학 과 추상대수학 에서 융합 규칙 (融合規則, 영어 : fusion rule 퓨전룰[* ] )은 2차원 등각 장론 에 대응되는 특별한 대수 구조이다.[1] [2] [3] 융합 규칙은 1차장 사이의 연산자 곱 전개 에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 페를린더 공식 (영어 : Verlinde formula )이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 융합환 (融合環, 영어 : fusion ring 퓨전링[* ] ) 또는 페를린더 대수 (Verlinde代數, 영어 : Verlinde algebra )라는 가환환 이 대응된다.
유한 집합
I
{\displaystyle I}
및 대합
(
−
)
∗
:
I
→
I
{\displaystyle (-)^{*}\colon I\to I}
(
−
)
∗
∘
(
−
)
∗
=
id
I
{\displaystyle (-)^{*}\circ (-)^{*}=\operatorname {id} _{I}}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 가환 모노이드
N
I
=
{
∑
i
n
i
i
:
∀
i
∈
I
:
n
i
∈
N
}
{\displaystyle \mathbb {N} ^{I}=\left\{\sum _{i}n_{i}i\colon \forall i\in I\colon n_{i}\in \mathbb {N} \right\}}
를 생각할 수 있다. 그 원소는
I
{\displaystyle I}
의 원소들로 구성된 중복집합 으로 생각할 수 있다.
I
{\displaystyle I}
위의 융합 규칙 은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수
N
:
N
I
→
Z
{\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} }
이다.
(규격화)
N
(
0
)
=
1
{\displaystyle N(0)=1}
(대합에 대한 대칭)
N
(
x
∗
)
=
N
(
x
)
∀
x
∈
N
I
{\displaystyle N(x^{*})=N(x)\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}}
(융합)
N
(
x
+
y
)
=
∑
k
∈
I
N
(
x
+
k
)
N
(
y
+
k
∗
)
∀
x
,
y
∈
N
I
{\displaystyle N(x+y)=\sum _{k\in I}N(x+k)N(y+k^{*})\forall x,y\in \mathbb {N} ^{I}}
(부호)
∃
i
∈
I
:
N
(
i
)
>
0
{\displaystyle \exists i\in I\colon N(i)>0}
(비퇴화성)
∀
i
∈
I
∃
x
∈
N
I
:
N
(
i
+
x
)
≠
0
{\displaystyle \forall i\in I\exists x\in \mathbb {N} ^{I}\colon N(i+x)\neq 0}
항등원과 3점 계수 [ 편집 ]
임의의 융합 규칙
N
:
N
I
→
Z
{\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} }
가 주어졌을 때, 어떤 원소
η
∈
I
{\displaystyle \eta \in I}
에 대하여
N
(
i
)
=
{
1
i
=
η
0
i
≠
η
{\displaystyle N(i)={\begin{cases}1&i=\eta \\0&i\neq \eta \end{cases}}}
η
∗
=
η
{\displaystyle \eta ^{*}=\eta }
이게 된다. 이를 융합 규칙의 항등원 (영어 : identity element )이라고 하며, 보통 단순히
1
{\displaystyle 1}
로 표기한다. (이는 2차원 등각 장론 에서 항등 연산자 에 해당한다.)
이는 다음과 같이 항등원을 이룬다.
N
(
1
+
x
)
=
N
(
x
)
∀
x
∈
N
I
{\displaystyle N(1+x)=N(x)\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}}
증명 :
공리로부터,
N
(
x
)
=
N
(
0
+
x
)
=
∑
i
∈
I
N
(
i
∗
)
(
i
+
x
)
=
N
(
1
+
x
)
{\displaystyle N(x)=N(0+x)=\sum _{i\in I}N(i^{*})(i+x)=N(1+x)}
이다.
또한, 항상 다음이 성립한다.
N
(
i
+
j
)
=
{
1
i
=
j
∗
0
i
≠
j
∗
{\displaystyle N(i+j)={\begin{cases}1&i=j^{*}\\0&i\neq j^{*}\end{cases}}}
사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다.
항등원
1
∈
I
{\displaystyle 1\in I}
3점 계수
N
↾
{
i
+
j
+
k
:
i
,
j
,
k
∈
I
∖
{
1
}
}
{\displaystyle N\upharpoonright \{i+j+k\colon i,j,k\in I\setminus \{1\}\}}
증명 :
2점 이하의 계수는
1
∈
I
{\displaystyle 1\in I}
로 완전히 결정된다. 또한,
N
(
i
1
+
i
2
+
⋯
+
i
+
i
k
)
=
∑
j
∈
I
N
(
i
1
+
i
2
+
j
∗
)
N
(
j
+
i
3
+
⋯
+
i
k
)
(
k
≥
3
,
i
1
,
i
2
,
…
,
i
k
∈
I
)
{\displaystyle N(i_{1}+i_{2}+\dotsb +i+i_{k})=\sum _{j\in I}N(i_{1}+i_{2}+j^{*})N(j+i_{3}+\dotsb +i_{k})\qquad (k\geq 3,\;i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{k}\in I)}
이므로,
k
{\displaystyle k}
점의 계수는 3점 계수와
k
−
1
{\displaystyle k-1}
점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수
N
(
i
+
j
+
k
)
{\displaystyle N(i+j+k)}
에서 만약
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,j,k}
가운데 하나가
1
{\displaystyle 1}
에 속한다면 그 값은 자명하다.
보통 3점 계수는
N
(
i
+
j
+
k
∗
)
=
N
i
j
k
{\displaystyle N(i+j+k^{*})=N_{ij}^{k}}
로 표기한다. 대칭에 의하여
N
i
j
k
=
N
j
i
k
=
N
k
∗
i
j
=
N
i
∗
j
∗
k
∗
{\displaystyle N_{ij}^{k}=N_{ji}^{k}=N_{k^{*}i}^{j}=N_{i^{*}j^{*}}^{k^{*}}}
N
1
i
j
=
N
i
j
∗
1
=
δ
i
j
{\displaystyle N_{1i}^{j}=N_{ij^{*}}^{1}=\delta _{i}^{j}}
가 된다. (
δ
{\displaystyle \delta }
는 크로네커 델타 이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다.
N
(
i
+
j
+
k
+
l
∗
)
=
∑
m
∈
I
N
i
j
m
N
k
m
l
=
∑
m
∈
I
N
i
k
m
N
j
m
l
(
∀
i
,
j
,
k
,
l
∈
I
)
{\displaystyle N(i+j+k+l^{*})=\sum _{m\in I}N_{ij}^{m}N_{km}^{l}=\sum _{m\in I}N_{ik}^{m}N_{jm}^{l}\qquad (\forall i,j,k,l\in I)}
s
만약
N
i
j
k
{\displaystyle N_{ij}^{k}}
를 행렬
N
i
{\displaystyle N_{i}}
로 표기한다면, 이는 다음과 같다.
N
j
N
k
=
N
k
N
j
{\displaystyle N_{j}N_{k}=N_{k}N_{j}}
즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 교환 법칙 을 따르는 것으로 해석할 수 있다.[1] :(2.131) 따라서, 복소수 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 기저 를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다.
고차 종수 융합 규칙 [ 편집 ]
융합 규칙
N
:
N
I
→
Z
{\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} }
및 자연수
g
{\displaystyle g}
에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.
N
g
(
x
)
=
∑
i
∈
I
N
g
−
1
(
x
+
i
+
i
∗
)
∀
x
∈
N
I
{\displaystyle N_{g}(x)=\sum _{i\in I}N_{g-1}(x+i+i^{*})\qquad \forall x\in \mathbb {N} ^{I}}
N
0
=
N
{\displaystyle N_{0}=N}
이들은 2차원 등각 장론 에서, 종수
g
{\displaystyle g}
의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수 에 대응된다.
그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.[2] :Remark 5.10
N
g
+
h
(
x
+
y
)
=
∑
i
∈
I
N
g
(
x
+
i
∗
)
N
h
(
i
+
y
)
∀
x
,
y
∈
N
I
,
g
,
h
∈
N
{\displaystyle N_{g+h}(x+y)=\sum _{i\in I}N_{g}(x+i^{*})N_{h}(i+y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {N} ^{I},\;g,h\in \mathbb {N} }
융합환 [ 편집 ]
융합 규칙
N
:
N
I
→
Z
{\displaystyle N\colon \mathbb {N} ^{I}\to \mathbb {Z} }
이 주어졌을 때,
I
{\displaystyle I}
로 생성되는 자유 아벨 군
R
=
Z
I
{\displaystyle R=\mathbb {Z} ^{I}}
위에 다음과 같은
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
-쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.
i
1
⋅
i
2
⋅
⋯
⋅
i
k
=
∑
j
∈
I
N
(
i
1
+
⋯
+
i
k
+
j
∗
)
j
(
k
∈
N
,
i
1
,
…
,
i
k
∈
I
)
{\displaystyle i_{1}\cdot i_{2}\cdot \dotsb \cdot i_{k}=\sum _{j\in I}N(i_{1}+\dotsb +i_{k}+j^{*})j\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;i_{1},\dotsc ,i_{k}\in I)}
이는 항등원
1
∈
I
{\displaystyle 1\in I}
을 갖는 가환환 을 이루며, 융합환 이라고 한다.
특히, 융합환
R
{\displaystyle R}
의 가환환 으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로,
∑
j
∈
I
N
(
j
∗
)
j
=
1
{\displaystyle \sum _{j\in I}N(j^{*})j=1}
이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은
i
=
∑
j
∈
I
N
(
i
+
j
∗
)
j
{\displaystyle i=\sum _{j\in I}N(i+j^{*})j}
이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 결합 법칙 을 따르는 이항 연산 을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다.
융합환
R
{\displaystyle R}
위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형
t
:
(
R
,
+
)
→
(
Z
,
+
)
{\displaystyle t\colon (R,+)\to (\mathbb {Z} ,+)}
이 존재한다.[2] :Proposition 5.3
t
(
i
1
i
2
⋯
i
k
)
=
N
(
i
1
+
i
2
+
⋯
+
i
n
)
∀
i
1
,
…
,
i
k
∈
I
{\displaystyle t(i_{1}i_{2}\dotsm i_{k})=N(i_{1}+i_{2}+\dotsb +i_{n})\qquad \forall i_{1},\dotsc ,i_{k}\in I}
따라서
t
{\displaystyle t}
는
R
{\displaystyle R}
-가군 의 동형 사상
R
→
R
∨
=
hom
Z
(
R
,
Z
)
{\displaystyle R\to R^{\vee }=\hom _{\mathbb {Z} }(R,\mathbb {Z} )}
r
↦
(
s
↦
t
(
r
s
)
)
{\displaystyle r\mapsto (s\mapsto t(rs))}
을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 고런스틴 환 이다. 이 가군 동형에서, 대각합
tr
∈
R
∨
{\displaystyle \operatorname {tr} \in R^{\vee }}
tr
:
i
↦
∑
j
∈
I
N
i
j
j
(
i
,
j
,
k
∈
I
)
{\displaystyle \operatorname {tr} \colon i\mapsto \sum _{j\in I}N_{ij}^{j}\qquad (i,j,k\in I)}
에 대응되는
R
{\displaystyle R}
의 원소는 카시미르 원소
∑
i
∈
I
i
i
∗
{\displaystyle \sum _{i\in I}ii^{*}}
이다.
등각 장론의 융합환 [ 편집 ]
2차원 등각 장론 가운데 최소 모형 이 주어졌다고 하자. 이 경우,
I
{\displaystyle I}
를 1차장의 집합으로 놓고,
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
를 항등 함수 로 놓고,
N
i
j
k
=
{
0
C
i
j
k
=
0
1
C
i
j
k
≠
0
{\displaystyle N_{ij}^{k}={\begin{cases}0&C_{ijk}=0\\1&C_{ijk}\neq 0\end{cases}}}
로 놓자. (여기서
C
i
j
k
{\displaystyle C_{ijk}}
는 등각 장론의 3점 상관 함수 의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.
보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수 나 아핀 리 대수 (베스-추미노-위튼 모형 )에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론 에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
이 자명하지 않을 수 있다.
페를린더 공식 [ 편집 ]
유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론 에서, 최고 무게 표현들의 지표가
Z
(
τ
)
=
∑
i
∈
I
χ
i
(
τ
)
{\displaystyle Z(\tau )=\sum _{i\in I}\chi _{i}(\tau )}
라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성
Z
(
τ
)
=
Z
(
−
1
/
τ
)
{\displaystyle Z(\tau )=Z(-1/\tau )}
에 의하여
χ
i
(
−
1
/
τ
)
=
∑
j
∈
I
S
i
j
χ
j
(
τ
)
{\displaystyle \chi _{i}(-1/\tau )=\sum _{j\in I}S_{i}{}^{j}\chi _{j}(\tau )}
가 되는 행렬
S
:
Z
I
→
Z
J
{\displaystyle S\colon \mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{J}}
이 존재한다. (보다 일반적으로,
C
I
{\displaystyle \mathbb {C} ^{I}}
위에는
PSL
(
2
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}
의 표현 이 존재한다.)
S
{\displaystyle S}
는 항상 유니터리 행렬 이며, 대칭 행렬 이며 (※에르미트 행렬 이 아니다),
S
4
=
1
{\displaystyle S^{4}=1}
이다.
이 경우, 다음과 같은 페를린더 공식 (영어 : Verlinde formula )이 성립한다.[1] :143, (4.55)
N
i
j
k
=
∑
l
∈
I
S
i
l
S
j
l
S
¯
l
k
S
1
l
{\displaystyle N_{ij}^{k}=\sum _{l\in I}{\frac {S_{il}S_{jl}{\bar {S}}_{lk}}{S_{1l}}}}
여기서
S
¯
{\displaystyle {\bar {S}}}
는 성분별 복소켤레 이다 (즉,
(
S
¯
)
⊤
=
S
†
{\displaystyle ({\bar {S}})^{\top }=S^{\dagger }}
).
이징 모형 [ 편집 ]
임계 2차원 이징 모형 에 해당하는 최소 모형
c
=
1
/
2
{\displaystyle c=1/2}
을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.
기호
설명
비라소로 대수 표현
(
h
,
h
¯
)
{\displaystyle (h,{\bar {h}})}
1
진공
(0,0)
σ
{\displaystyle \sigma }
스핀 밀도
(1/16,1/16)
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
에너지 밀도
(½,½)
이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.[1] :80, §2.11
I
=
{
1
,
σ
,
ϵ
}
{\displaystyle I=\{1,\sigma ,\epsilon \}}
(
−
)
∗
=
id
I
{\displaystyle (-)^{*}=\operatorname {id} _{I}}
N
(
2
σ
)
=
1
{\displaystyle N(2\sigma )=1}
N
(
2
ϵ
)
=
1
{\displaystyle N(2\epsilon )=1}
N
(
2
σ
+
ϵ
)
=
1
{\displaystyle N(2\sigma +\epsilon )=1}
N
(
1
+
2
ϵ
)
=
1
{\displaystyle N(1+2\epsilon )=1}
N
(
1
+
2
σ
)
=
1
{\displaystyle N(1+2\sigma )=1}
N
(
ϵ
+
2
σ
)
=
1
{\displaystyle N(\epsilon +2\sigma )=1}
이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.
A
=
Z
[
σ
,
ϵ
]
/
(
σ
2
−
1
−
ϵ
,
ϵ
σ
−
σ
,
ϵ
2
−
1
)
{\displaystyle A=\mathbb {Z} [\sigma ,\epsilon ]/(\sigma ^{2}-1-\epsilon ,\epsilon \sigma -\sigma ,\epsilon ^{2}-1)}
즉, 곱셈이 다음과 같다.
·
1
σ
ε
1
1
σ
ε
σ
σ
1+ε
σ
ε
ε
σ
1
베스-추미노-위튼 모형 [ 편집 ]
다음이 주어졌다고 하자.
복소수 단순 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 카르탕 부분 대수
h
{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
따라서, 근계
R
(
g
,
h
)
{\displaystyle \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
를 정의할 수 있다.
근계
R
(
g
,
h
)
{\displaystyle \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근
θ
∈
R
(
g
,
h
)
{\displaystyle \theta \in \operatorname {R} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}
을 고를 수 있다.
양의 정수
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
이제,
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
의 우세 무게
λ
{\displaystyle \lambda }
가운데
⟨
λ
|
θ
⟩
≤
k
{\displaystyle \langle \lambda |\theta \rangle \leq k}
인 것들의 집합을
P
k
{\displaystyle P_{k}}
라고 하자. 이들은 아핀 리 대수
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
의 준위
k
{\displaystyle k}
의 표현들과 일대일로 대응한다.
λ
∈
P
k
{\displaystyle \lambda \in P_{k}}
에 대응하는
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
-표현을
H
λ
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }}
라고 표기하자.
이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
콤팩트 연결 리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
{\displaystyle \Sigma }
의 유한 부분 집합
X
=
{
x
1
,
…
,
x
n
}
⊆
Σ
{\displaystyle X=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}\subseteq \Sigma }
함수
λ
:
X
→
P
k
{\displaystyle \lambda \colon X\to P_{k}}
그렇다면,
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
의 표현
⨂
x
∈
X
H
λ
(
x
)
{\displaystyle \bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{\lambda (x)}}
을 생각하자. 또한,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
값 정칙 함수 의 복소수 리 대수
O
(
Σ
∖
X
)
⊗
C
g
{\displaystyle {\mathcal {O}}(\Sigma \setminus X)\otimes _{\mathbb {C} }{\mathfrak {g}}}
는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간 을 정의할 수 있다.[2]
V
(
X
,
λ
)
=
(
⨂
x
∈
X
H
λ
(
x
)
)
O
(
Σ
∖
X
)
⊗
C
g
{\displaystyle V(X,\lambda )=\left(\bigotimes _{x\in X}{\mathcal {H}}_{\lambda (x)}\right)_{{\mathcal {O}}(\Sigma \setminus X)\otimes _{\mathbb {C} }{\mathfrak {g}}}}
여기서
W
g
{\displaystyle W_{\mathfrak {g}}}
는
W
{\displaystyle W}
의,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
-작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
에 불변인,
W
{\displaystyle W}
의 가장 큰 몫 벡터 공간이다.
아핀 리 대수
g
^
{\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}
의 표현을 갖는 2차원 등각 장론 인 베스-추미노-위튼 모형 을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간
V
(
X
,
λ
)
{\displaystyle V(X,\lambda )}
는 각 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에
λ
(
x
)
{\displaystyle \lambda (x)}
에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 등각 블록 이다.
두 유한 집합
X
{\displaystyle X}
,
X
′
{\displaystyle X'}
및 전단사 함수
i
:
X
→
X
′
{\displaystyle i\colon X\to X'}
가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상
V
Σ
(
X
,
λ
)
≅
V
Σ
(
X
′
,
λ
∘
i
)
{\displaystyle V_{\Sigma }(X,\lambda )\cong V_{\Sigma }(X',\lambda \circ i)}
이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다.
이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.[2] :Example 5.2a
N
(
∑
λ
i
)
=
dim
V
P
C
1
(
{
x
1
,
…
,
x
n
}
,
(
x
i
↦
λ
i
)
)
{\displaystyle N\left(\sum \lambda _{i}\right)=\dim V_{\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}(\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\},(x_{i}\mapsto \lambda _{i}))}
즉, 이는 리만 구 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다.
에릭 페를린더 (2009년 사진)
에릭 페를린더(네덜란드어 : Erik Verlinde , 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론 을 연구하기 위하여 도입하였다.[4]
참고 문헌 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]