수심 (수학)

수심

기하학에서 수심(垂心, orthocenter)은 세 꼭짓점에서 각각의 대변에 내린 수선의 교점이다.

존재성의 증명

삼각형 ABC의 꼭짓점 B, C에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하고, 그 교점을 H라 하자. A와 H를 이은 선과 BC의 교점을 D라 하면

$\odot AEHF$, $\odot BCEF$

$\therefore \angle HAE= \angle HFE= \angle HBC$

$\therefore \odot ABDE$

$\therefore \angle ADB= \angle AEB=90^\circ$

이다. 즉 AD와 BC는 수직이므로 점 H는 수심이다.

수족삼각형

수족삼각형은 삼각형의 각 꼭지점에서 대변에 내린 수선의 발을 꼭지점으로 하는 삼각형이다.

수심과의 관계

ABC의 수족삼각형을 삼각형 DEF라 하고 수심을 H라 하면, A, B, C, H는 삼각형 DEF의 내심 또는 방심이 된다.

특징

• 어떤 삼각형이 예각삼각형이면, 이 삼각형의 세 변 위에 세 점을 잡아 그 둘레가 최소이도록 삼각형을 만들면 이 삼각형은 수족삼각형이다.
• 예각삼각형의 수족삼각형의 두 변은 삼각형의 한 변에 대해 대칭이다.

특징

A, B, C에서 각각의 대변에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라 하고, 그 교점인 수심을 H라 하면,

• 사각형 ABDE가 원에 내접한다.
• 사각형 BCEF가 원에 내접한다.
• 사각형 CAFD가 원에 내접한다.
• 사각형 AFHE가 원에 내접한다.
• 사각형 BDHF가 원에 내접한다.
• 사각형 CEHD가 원에 내접한다.
• 삼각형 DEF의 외접원은 세 변과 AH,BH,CH 의 중점을 지난다. (구점원 참고)
• 수심을 AB,BC,CA에 대칭시키면 삼각형 ABC의 외접원 위에 놓인다.
• 외심 O, 무게중심 G, 수심 H는 한 직선 위에 있고, 이때 OG:GH=1:2이다. (오일러 직선 참고)
• AB, BC, CA와 평행한 직선을 C, A, B에서 그어 만나는 점을 P, Q, R이라 하면, H는 삼각형 PQR의 외심이다.
• 삼각형 BCH, CAH, ABH의 수심은 각각 A, B, C이다.

삼각형의 종류에 따른 수심의 위치

• 예각삼각형의 수심은 삼각형 내부에 위치한다.
• 직각삼각형의 수심은 직각인 각의 꼭지점과 일치한다.
• 둔각삼각형의 수심은 삼각형 외부에 위치한다.