사인 법칙

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사인 법칙(law of sines)은 평면상의 일반적인 삼각형에서 성립하는 삼각형의 세 사인함수와 변의 관계에 대한 법칙이다. 삼각형 ABC에서 각 A, B, C에 마주보는 변의 길이를 각각 a, b, c라고 하면, 다음 식이 성립한다.

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

여기에서 R은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이이다. 이 공식을 이용하면, 어떤 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알고 있을 때에 다른 두 변의 길이를 구할 수 있다.

증명[편집]

사인 법칙의 증명 (1)

삼각형 ABC에서, 각 변의 길이를 a, b, c, 그리고 C에서 AB에 내린 수선의 길이를 h라고 하면,

\sin A = \frac{h}{b}
\sin B = \frac{h}{a}.

의 두 식을 발견할 수 있다. 이 식들을 h에 대해 정리하면

h = b\,\sin A = a\,\sin B

따라서 다음 식이 성립한다.

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.

또한, b와 c에 대해서도 같은 방법을 사용하면 다음의 식이 얻어진다.

\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

다른 증명[편집]

사인 법칙의 증명(2)

삼각형 ABC의 외심을 O라고 하고, 점 O에서 BC에 내린 수선의 발을 A'라고 하면,

\angle BOC = 2\angle A
\angle BOC = 2\angle BOA'

따라서, \angle BOA' = \angle A가 성립하고,

\sin A = \sin BOA' = \frac{BA'}{BO}

여기에서 변 BO는 외접원의 반지름이므로, \overline{BO} = R이다. 또한, A'는 BC의 중점이므로 \overline{BA'} = \frac{1}{2}\overline{BC} = \frac{1}{2}a이다. 따라서

\sin A = \frac{a}{2R}

가 성립한다. 각 B, C에 대해서도 같은 방법으로 증명할 수 있다.

같이보기[편집]