삼각형의 중심

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기하학에서 삼각형의 중심은 삼각형의 고유한 위치이다. 그 중에서 오심(五心)은 가장 널리 알려진 예이다. 내심, 외심, 방심은 중심이고, 무게중심, 수심은 원의 중심이 아니다.

종류[편집]

삼각형의 오심[편집]

내심[편집]

삼각형의 내접원중심으로 세 의 이등분선의 교점이다.

외심[편집]

삼각형의 외접원중심으로 세 의 수직이등분선의 교점이다. 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있고, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이며, 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 있다.

무게중심[편집]

삼각형의 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 세 개의 선분(중선)이 만나는 의 교점이다. 세 꼭짓점의 좌표가 각각 (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\,인 삼각형의 무게중심의 좌표는 \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)이다.

수심[편집]

삼각형의 세 꼭짓점에서 각각의 대변에 내린 수선의 교점이다

방심[편집]

삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 각의 외각의 이등분선의 교점이다.

삼각형의 여러 중심들[편집]

   삼각형의 중심들    이름    기호    삼선좌표(Trilinear Coordinates)
X1    내심 I    1 : 1 : 1
X2    무게중심 G    bc : ca : ab
X3    외심 O    cos A : cos B : cos C
X4    수심 H    sec A : sec B : sec C
X5    구점원의 중심 N    cos(BC) : cos(CA) : cos(AB)
X6    대칭중심 K    a : b : c
X7    Gergonne point Ge    bc/(b + ca) : ca/(c + ab) : ab/(a + bc)
X8    Nagel point Na    (b + ca)/a : (c + ab)/b: (a + bc)/c
X9    Mittenpunkt M    b + ca : c + ab : a + bc
X10    Spieker center Sp    bc(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b)
X11    포이어바흐 점 F    1 − cos(BC) : 1 − cos(CA) : 1 − cos(AB)
X13    페르마 점 X    csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)     *
X15
X16
   Isodynamic points S
S
   sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3)   
   sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)
X17
X18
   Napoleon points N
N
   sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3)   
   sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)
X99    Steiner point S    bc/(b2c2) : ca/(c2a2) : ab/(a2b2)