삼각형의 중심

기하학에서 삼각형의 중심은 삼각형의 고유한 위치이다. 그 중에서 오심(五心)은 가장 널리 알려진 예이다. 내심, 외심, 방심은 원의 중심이고, 무게중심, 수심은 원의 중심이 아니다.

종류

삼각형의 오심

내심

 이 부분의 본문은 내접원입니다.

삼각형의 내접원의 중심으로 세 내각의 이등분선의 교점이다.

외심

 이 부분의 본문은 외접원입니다.

삼각형의 외접원의 중심으로 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있고, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이며, 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 있다.

모양중심(무게중심)

삼각형의 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 세 개의 선분(중선)이 만나는 점의 교점이다. 세 꼭짓점의 좌표가 각각 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})\,$인 삼각형의 무게중심의 좌표의 공식으로는 $\left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)$가 있다.

수심

 이 부분의 본문은 수심 (기하학)입니다.

삼각형의 세 꼭짓점에서 각각의 대변에 내린 수선의 교점이다.

방심

 이 부분의 본문은 방접원입니다.

삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점이다. 서로 다른 3개의 방심이 생긴다.

삼각형의 여러 중심들

삼각형의 중심들	이름	기호	삼선좌표(Trilinear Coordinates)
X1	내심	I	1 : 1 : 1
X2	무게중심	G	bc : ca : ab
X3	외심	O	cos A : cos B : cos C
X4	수심	H	sec A : sec B : sec C
X5	구점원의 중심	N	cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)
X6	대칭중심	K	a : b : c
X7	제르곤 점	Ge	bc/(b + c − a) : ca/(c + a − b) : ab/(a + b − c)
X8	나겔 점	Na	(b + c − a)/a : (c + a − b)/b: (a + b − c)/c
X9	Mittenpunkt	M	b + c − a : c + a − b : a + b − c
X10	슈피커 중심	Sp	bc(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b)
X11	포이어바흐 점	F	1 − cos(B − C) : 1 − cos(C − A) : 1 − cos(A − B)
X13	페르마 점	X	csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)     *
X15 X16	Isodynamic points	S S′	sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3)       sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)
X17 X18	Napoleon points	N N′	sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3)       sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)
X99	Steiner point	S	bc/(b2 − c2) : ca/(c2 − a2) : ab/(a2 − b2)