내접원

삼각형의 내접원과 내심

내접원을 갖는 사각형

내접원(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, 영어: incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 $I$로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 $r$로 표기한다.

정의

다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다.

성질

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.

반지름

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 $r$은 넓이 $S$와 반둘레 $s$를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$r={\frac {S}{s}}$

삼각형의 세 변의 길이가 $a$, $b$, $c$, 반둘레가 $s$, 넓이가 $S$, 외접원의 반지름이 $R$, 방접원의 반지름이 $r_{A}$, $r_{B}$, $r_{C}$라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\\&={\frac {abc}{4sR}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}}}\\&=r_{A}+r_{B}+r_{C}-4R\end{aligned}}$

첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.

접점과 중심각

삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 하고, 내접원과 두 변 $AC$, $BC$의 접점을 각각 $T_{B}$, $T_{C}$라고 하고, 직선 $AI$와 $T_{B}T_{C}$의 교점을 $P$라고 할 때, $BP$는 $AI$의 수선이다.^{:31, §3.4}

삼각형 $ABC$의 내접원의 $A$, $B$, $C$의 대변에서의 접점을 각각 $T_{A}$, $T_{B}$, $T_{C}$라고 하고, 반둘레를 $s$, $A$, $B$, $C$의 대변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라고 할 때, 다음이 성립한다.

$AT_{B}=AT_{C}=s-a$

$BT_{C}=BT_{A}=s-b$

$CT_{A}=CT_{B}=s-c$

삼각형 $ABC$의 내심 $I$와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.

$\angle AIB=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle ACB$

$\angle BIC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BAC$

$\angle CIA=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle CBA$

외접원과의 관계

삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 $R$, $r$라고 할 때, 내심 $I$와 외심 $O$ 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

$OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}$

특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).

$R\geq 2r$

삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외접원의 호 $BC$의 중점 $M$이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).

$MI=MB=MC$

내심 삼각형

삼각형 $ABC$의 내각 이등분선 $AI_{A}$, $BI_{B}$, $CI_{C}$의 발 $I_{A}$, $I_{B}$, $I_{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 $ABC$의 내심 삼각형(內心三角形, 영어: incentral triangle) $I_{A}I_{B}I_{C}$라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.

제르곤 점과 제르곤 삼각형

제르곤 점과 제르곤 삼각형

삼각형 $ABC$의 내접원과 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$, $T_{B}$, $T_{C}$라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 $AT_{A}$, $BT_{B}$, $CT_{C}$는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$의 제르곤 점(영어: Gergonne point) $X_{7}$이라고 한다. 삼각형 $ABC$의 내접원의 세 접점 $T_{A}$, $T_{B}$, $T_{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 $ABC$의 제르곤 삼각형(영어: Gergonne triangle) 또는 내촉 삼각형(영어: intouch triangle) 또는 접촉 삼각형(영어: contact triangle) $T_{A}T_{B}T_{C}$라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.

증명:

다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 $AT_{A}$, $BT_{B}$, $CT_{C}$는 한 점에서 만난다.

${\frac {AT_{C}}{T_{C}B}}\cdot {\frac {BT_{A}}{T_{A}C}}\cdot {\frac {CT_{B}}{T_{B}A}}={\frac {s-a}{s-b}}\cdot {\frac {s-b}{s-c}}\cdot {\frac {s-c}{s-a}}=1$

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.^{:62, §7.4, (iv)}

삼각형 $ABC$의 내접원과 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$, $T_{B}$, $T_{C}$라고 하고, 제르곤 점을 $X_{7}$라고 하자. 제르곤 점 $X_{7}$을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 $T_{A}T_{B}$, $T_{B}T_{C}$, $T_{C}T_{A}$의 평행선 $PS$, $RU$, $TQ$와 원래 삼각형 $ABC$의 두 변 $BC$와 $CA$, $CA$와 $AB$, $AB$와 $BC$의 교점을 각각 $P$와 $S$, $R$와 $U$, $T$와 $Q$라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 $ABC$의 애덤스 원(영어: Adams’ circle)이라고 한다.^{:62, §7.4, (v)} 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.^{:62, §7.4, (v)}

증명:

6개의 점 $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$와 내심 $I$사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 $IT_{A}P$, $IT_{A}Q$, $IT_{B}R$, $IT_{B}S$, $IT_{C}T$, $IT_{C}U$의 빗변이다. $IT_{A}=IT_{B}=IT_{C}$는 내접원의 반지름이므로

$PT_{A}=T_{A}Q=RT_{B}=T_{B}S=TT_{C}=T_{C}U$

를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 $PT_{A}=T_{A}Q=ST_{B}$를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 $CT_{A}=CT_{B}$이다. 직선 $PS$와 $T_{A}T_{B}$는 평행하므로 $CP=CS$이다. 따라서 $PT_{A}=ST_{B}$이다.

선분 $T_{A}T_{B}$, $T_{A}T_{C}$의 연장선과 점 $A$를 지나는 직선 $BC$의 평행선의 교점을 각각 $D$, $E$라고 하자. 그렇다면 직선 $DE$와 $BC$는 평행하며 삼각형 $CT_{A}T_{B}$, $BT_{A}T_{C}$는 이등변 삼각형이므로

$DA=AT_{C}=AT_{B}=EA$

이며, 선분 $T_{A}A$는 삼각형 $T_{A}DE$의 중선이다. 직선 $DE$, $PS$, $QT$는 각각 직선 $BC$, $T_{A}T_{B}$, $T_{A}T_{C}$와 평행하므로, 삼각형 $T_{A}DE$와 선분 $T_{A}A$의 합집합은 삼각형 $X_{7}PQ$와 선분 $X_{7}T_{A}$의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 $X_{7}T_{A}$ 역시 삼각형 $X_{7}PQ$의 중선이다. 즉, $PT_{A}=T_{A}Q$이다.

삼각형 $ABC$의 내접원과 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 접점을 각각 $T_{A}$, $T_{B}$, $T_{C}$라고 하고, 제르곤 점을 $X_{7}$라고 하자. 제르곤 점 $X_{7}$을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 $T_{A}T_{B}$, $T_{B}T_{C}$, $T_{C}T_{A}$의 평행선 $PS$, $RU$, $TQ$와 원래 삼각형 $ABC$의 두 변 $BC$와 $CA$, $CA$와 $AB$, $AB$와 $BC$의 교점을 각각 $P$와 $S$, $R$와 $U$, $T$와 $Q$라고 하자. 직선 $UP$와 $QR$, $QR$와 $ST$, $ST$와 $UP$의 교점을 각각 $X$, $Y$, $Z$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $ABC$의 제르곤 점 $X_{7}$은 삼각형 $XYZ$의 대칭 중점이며, 삼각형 $ABC$의 애덤스 원은 삼각형 $XYZ$의 제1 르무안 원이다.^{:98, Exercise 9.2}

역사

제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(프랑스어: Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(영어: C. Adams)가 제시하였다.^{:62, §7.4, (v)}

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incircle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Contact triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Adams' circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.