헤론의 공식

헤론의 공식은 삼각형의 세 변의 길이를 통해 넓이를 구하는 공식이다.

길이가 각 a, b, c 인 선분으로 이루어진 삼각형이 있을 때, 면적을 S 라 하면,

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

가 성립한다. 여기서,

$s=\frac{a+b+c}{2}$

이다.

직선으로 둘러싸인 도형은 아무리 복잡한 형태를 하고 있다고 해도 반드시 삼각형으로 쪼갤 수 있다. 또, 이 공식을 사용하면 높이를 따로 구할 필요가 없기 때문에, 토지의 면적을 구하는 데 편리한 공식으로서도 알려져 있다.

역사

이 공식은 알렉산드리아의 헤론이 그의 저서 《Metrica》에서 증명을 써 놓았기 때문에 헤론의 공식이란 이름이 붙여졌다. 하지만 현재는 공식이 아르키메데스에게서 비롯한 것이거나, 훨씬 이전부터 알고 있었을 수도 있었으리라 여겨지고 있다. 현재 널리쓰인다.

증명

일반적인 방법

삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c라고 하면, 이 삼각형의 넓이 S는

$S = \frac{1}{2} ab\sin C \cdots (1)$

에서, 코사인 법칙을 이용하면

$\cos C = \frac{a^2+b^2- c^2}{2ab}$

$\sin C = \sqrt{1-\cos^2 C } = \sqrt{\frac{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 - c^2)^2 }{4a^2 b^2}}$.

여기서 얻어진 $\sin C$의 값을 (1)에 대입하면,

$S = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

다른 방법

그림과 같이 삼각형 ABC의 세 변을 a,b,c 로 하고, A로부터 BC 또는 그 연장에 내린 수선 AH의 길이를 h, 선분 CH의 길이를 x라 한다. 이때 각ACB가 둔각이면 x는 음의 값을 갖는다.

피타고라스 정리에 의해 수선 AH에 의해 나뉜 삼각형AHC에 대해 다음의 식이 성립한다.

$x^2+h^2=b^2$

이제 $h^2$를 좌변으로 정리하면,

$h^2 =b^2 -x^2 \cdots (2)$

같은 방법으로 삼각형 AHB에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다.

$h^2 =a^2 -(c-x)^2$

이제 $h^2$를 소거하면 다음의 등식이 성립한다.

$b^2 -x^2 =a^2 -(c-x)^2$

위의 등식을 간단히 정리하여 x에 대해 정리하면 다음과 같다.

$x=\frac{1}{2c} ( -a^2 +b^2 +c^2)$

이를 (2)에 대입하면,

$h^2=b^2-(\frac{1}{2c} ( -a^2 +b^2 +c^2))^2$

위의 등식을 h에 대해 정리하면,

$h^2=\frac{1}{4c^2 } (4b^2 c^2 -(-a^2 +b^2 +c^2 )^2 )$

$\therefore h=\sqrt {\frac{1}{4c^2 }}\sqrt {(4b^2 c^2 -(-a^2 +b^2 +c^2 )^2 )}=\frac{1} {2c} \sqrt {(4b^2 c^2 -(-a^2 +b^2 +c^2 )^2 )}$

삼각형ABC의 넓이 S는 다음과 같이 계산된다.

$S=\frac{ch}{2}= \frac{1} {2} c \frac{1} {2c} \sqrt {(4b^2 c^2 -(-a^2 +b^2 +c^2 )^2}$

$\therefore S=\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}$

단, $s= \frac{a+b+c} {2}$

일반화

헤론의 공식은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타의 공식의 특별한 경우로 생각할 수 있다.

또한, 헤론의 공식을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다.

$S = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} }$

이 식은 사면체의 부피를 구하는 타르탈리아의 공식과 비슷한 모양을 가지고 있다.