예각삼각형

예각삼각형

기하학에서 예각삼각형(銳角三角形)은 세 각의 크기가 모두 90도보다 작은 각을 갖는 삼각형이다.

넓이

두 변과 끼인각의 크기를 알 때 ,

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$S={1 \over {2}}{bc\sin A}={1 \over {2}}{ca\sin B}={1 \over {2}}{ab\sin C}$

공식 유도

따라서, 밑변$b$ 높이$h$를 갖는 삼각형에서 삼각형의 넓이 공식 $S={1 \over 2}b\cdot h$를 예약하고, 선분 ${\overline {AB}}$ 와 선분 ${\overline {AC}}$의 사잇각(끼인각)을 $sinA$ 라고 했을때, $sinA={{\text{높 이 }} \over {\text{빗 변 }}}={{h} \over {\overline {AB}}}={{h} \over {c}}$ 따라서, $sinA={{h} \over {c}}$ $sinA\cdot {c}={h}$ $S={1 \over {2}}{b}sinAc$ $S={1 \over {2}}{b}csinA$

삼각함수의 덧셈정리

삼각형 $ABC$의 넓이 $\triangle ABC$는,

$\triangle ABC=\triangle AHB+\triangle AHC$

$\triangle ABC={1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )$

$\triangle AHB+\triangle AHC$

$={1 \over {2}}\;{\overline {BH}}\;{\overline {AH}}+{1 \over {2}}\;{\overline {CH}}\;{\overline {AH}}$

$={1 \over {2}}c\sin \alpha \;b\cos \beta +{1 \over {2}}b\sin \beta \;c\cos \alpha$

$={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )$

따라서,

${1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )$

$\sin(\alpha +\beta )=(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )$

코사인법칙

이것을 $cosine$에 대해 나타내보면,

${\overline {BC}}={\overline {BH}}+{\overline {HC}}$

$cosB={{\overline {BH}} \over {c}}$

$cosBc={\overline {BH}}$

$cosC={{\overline {HC}} \over {b}}$

$cosCb={\overline {HC}}$

따라서,

${\overline {BC}}={\overline {BH}}+{\overline {HC}}$

$a=cosBc+cosCb$

이것은, 코사인법칙의 제1코사인법칙이다.

$a=b\cos C+c\cos B,b=c\cos A+a\cos C,c=a\cos B+b\cos A$

같이 보기

• 삼각형
• 둔각삼각형
• 직각삼각형
• 삼각함수
• 삼각함수의 덧셈정리