삼각함수의 덧셈정리

이 문서는 삼각함수의 덧셈 정리에 대해 설명한다.

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\tan \left(x+y\right)={{\tan x+\tan y} \over {1-\tan x\tan y}}$

$\tan \left(x-y\right)={{\tan x-\tan y} \over {1+\tan x\tan y}}$

사인함수의 덧셈정리

예각 삼각형 $ABC$의 넓이 $\triangle ABC$에 대해서,

$\triangle ABC=\triangle AHB+\triangle AHC$

$\triangle ABC={1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )$

$\triangle AHB+\triangle AHC$

$={1 \over {2}}\;{\overline {BH}}\;{\overline {AH}}+{1 \over {2}}\;{\overline {CH}}\;{\overline {AH}}$

$={1 \over {2}}c\sin \alpha \;b\cos \beta +{1 \over {2}}b\sin \beta \;c\cos \alpha$

$={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )$

따라서,

${1 \over {2}}{b}c\sin(\alpha +\beta )={1 \over {2}}cb(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )$

$\sin(\alpha +\beta )=(\sin \alpha \;\cos \beta +\sin \beta \;\cos \alpha )$

코사인의 덧셈정리

둔각삼각형 $\triangle {ABC}$에서$,\;{\overline {BD}}$의 임의의 한점 $C$에 대해서,

${\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)$

${\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;$

그리고,

${\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;$

${\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}\;\;$

따라서,

${\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}$

${\overline {AB}}^{2}=\left({\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)\right)+\left({\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}\right)$

${\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)$

그리고

$\cos(\pi -\alpha )={{\overline {CD}} \over {\overline {AC}}}$

${\overline {CD}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\alpha )$

${\overline {CD}}=-{\overline {AC}}\cos \alpha$

따라서,

${\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)$

${\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-2\left({\overline {BC}}\cdot {{\overline {AC}}\cos \alpha }\right)$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha$

이것은 제2코사인법칙이고,

유클리드 원론 3권 법칙3 에서, 두 점 사이의 거리를 가정하면, $l^{2}={({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}$이므로, $P=(\cos \;\alpha ,\sin \;\alpha )\;\;,\;\;Q=(\cos \beta ,\sin \beta )$ 일때, ${\overline {PQ}}^{2}=(\cos \beta -\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta -\sin \;\alpha )^{2}$ $=\left((\cos \beta -\cos \;\alpha )\cdot (\cos \beta -\cos \;\alpha )\right)+\left((\sin \beta -\sin \;\alpha )\cdot (\sin \beta -\sin \;\alpha )\right)$ $=\left((\cos \beta )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta +(\cos \;\alpha )^{2}\right)+\left((\sin \beta )^{2}-2\sin \alpha \sin \beta +(\sin \alpha )^{2}\right)$ $=(\cos \beta )^{2}+(\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta )^{2}+(\sin \alpha )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta$ $=(\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+(\cos ^{2}\;\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$ 그리고 삼각함수 항등식의 피타고라스 정리에서, $\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1$ 따라서, $=1+1-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$ ${\overline {PQ}}^{2}=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$

한편,

이것은, 제2코사인법칙에서는,

${\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2\left({\overline {OP}}\cdot {{\overline {OQ}}\cos(\alpha -\beta )}\right)$

${\overline {PQ}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1\cos(\alpha -\beta )}\right)$

${\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({\cos(\alpha -\beta )}\right)$

그리고 두 점 사이의 거리에서,

${\overline {PQ}}^{2}=2-2\left({\cos(\alpha -\beta )}\right)=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$

따라서,

${\cos(\alpha -\beta )}=\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)$

탄젠트의 덧셈정리

$\tan x={{\sin x} \over {\cos x}}$

$\tan \left(x+y\right)={{\sin \left(x+y\right)} \over {\cos \left(x+y\right)}}$

$\tan \left(x+y\right)={{\sin x\cos y+\cos x\sin y} \over {\cos x\cos y-\sin x\sin y}}$

$\tan \left(x+y\right)={{{{\sin x\cos y} \over {\cos x\cos y}}+{{\cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}} \over {{{\cos x\cos y} \over {\cos x\cos y}}-{{\sin x\sin y} \over {\cos x\cos y}}}}$

$\tan \left(x+y\right)={{{\tan x}+{\tan y}} \over {1-{\tan x\tan y}}}$

덧셈정리의 변형

$\sin(-\theta )=-\sin \theta \;\;,\;\;\cos(-\theta )=\cos \theta$

따라서,

$\sin \left(x+(-y)\right)=\sin x\cos(-y)+\cos x\sin(-y)$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

그리고,

$\cos \left(x-(-y)\right)=\cos x\cos(-y)+\sin x\sin(-y)$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

그리고,

$\tan(-\theta )={{\sin(-\theta )} \over {\cos(-\theta )}}={-{\sin \theta } \over {\cos \theta }}=-\tan \theta$

$\tan(x+(-y))={{{\tan x}+{\tan(-y)}} \over {1-{\tan x\tan(-y)}}}$

$\tan(x-y)={{{\tan x}-{\tan y}} \over {1+{\tan x\tan y}}}$

유클리드 기하학 원론 2권 법칙9를 이용한 정리

정삼각형에서 ${\overline {AE}}=1$을 예약하고, ${{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }$ ${{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }$ ${{\overline {FD}} \over {AF}}={\sin \beta }$ ${\overline {FD}}={\overline {GC}}={\sin \beta {\overline {AF}}}={\sin \beta \cos \alpha }$ ${{\overline {EG}} \over {\overline {EF}}}={\cos \beta }$ ${\overline {EG}}={\cos \beta }{\overline {EF}}={\cos \beta }{\sin \alpha }$ ${\sin(\alpha +\beta )}={{{\overline {EG}}+{\overline {GC}}} \over {1}}$ ${\sin(\alpha +\beta )}={{\cos \beta }{\sin \alpha }}+{\sin \beta \cos \alpha }$ 이것은 사인함수이다. 한편,예약된 정삼각형에서, ${\overline {AE}}=1,\angle A=\angle E=\angle B,\angle A=\angle \alpha +\angle \beta ,\angle \alpha =\angle \beta$ ${{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }$ ${{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }$ ${{\overline {AD}} \over {AF}}={\cos \beta }$ ${\overline {AD}}={\cos \beta }{\overline {AF}}$ ${\overline {AD}}={\cos \beta }{\cos \alpha }$ ${{\overline {GF}} \over {\overline {EF}}}={\sin \beta }$ ${\overline {GF}}={\sin \beta }{\overline {EF}}$ ${\overline {GF}}={\sin \beta }{\sin \alpha }$ ${\overline {GF}}={\overline {CD}}={\sin \beta }{\sin \alpha }$ ${\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AC}} \over {1}}$ ${\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AD}}-{\overline {CD}}}$ ${\cos(\alpha +\beta )}={{\cos \beta }{\cos \alpha }}-{\sin \beta \sin \alpha }$ 이것은 코사인함수이다.

행렬을 이용한 정리

: $\sin(-\theta )=-\sin \theta \;\;,\;\;\cos(-\theta )=\cos \theta$이고, 삼각함수의 점의 좌표 $({\text{cosine}},{\text{sine}})$에서, $P=(x,y)\;\;,\;\;P'=(x',y')$ $P=(\cos ,\sin )\;\;,\;\;P'=(\cos ',\sin ')$이고, $\theta =90^{\circ }$로, $P'=(\alpha +\theta ,\alpha +\theta )$을 예약해보면, $P'=(\alpha +{{\pi } \over {2}},\alpha +{{\pi } \over {2}})$ $P'=(x\cos \alpha +{x}\cos \theta ,y\cos \alpha +{y}\sin \theta )$ $P'=\left(x\cos \alpha +{x}\cos {{\pi } \over {2}},y\cos \alpha +{y}\sin {{\pi } \over {2}}\right)$ 삼각함수의 값에서, $P'=(x\cos \alpha +{y}\sin(-\theta ),y\cos \alpha +{x}\cos(-\theta ))$ $P'=(x\cos \alpha -{y}\sin \theta ,y\cos \alpha +{x}\cos \theta )$ 그리고, $x'={x}\cos \alpha -{y}\sin \theta$ $y'={x}\sin \alpha +{y}\cos \theta$ 따라서, $\alpha =90^{\circ }$로 변형해서, $\theta =\alpha =90^{\circ }$ ${x}\cos \theta -{y}\sin \theta =x'$ ${x}\sin \theta +{y}\cos \theta =y'$ ${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}\cos y&-\sin y\\\sin y&\cos y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos x\\\sin x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(x+y)\\\sin(x+y)\end{pmatrix}}$ $cosx\cos y-\sin x\sin y=\cos \left(x+y\right)$ $\cos x\sin y+\sin x\cos y=\sin \left(x+y\right)$

같이 보기

• 삼각함수의 항등식
• 예각삼각형
• 둔각삼각형
• 삼각함수
• 회전행렬
• 유클리드 원론