삼각함수 항등식

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삼각함수 항등식(三角函數 恒等式)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 \sin^2, \cos^2 등의 함수는 \sin^2{x} = (\sin{x})^2와 같이 정의된다.

삼각함수의 정의에서[편집]

\cos{x} = \sin\left( x + {\pi \over 2} \right)
 \tan {x} = \frac {\sin {x}} {\cos{x}} \qquad \operatorname{cot}{x} = \frac {\cos {x}} {\sin{x}} = \frac{1} {\tan{x}}
 \operatorname{sec}{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \operatorname{csc}{x} = \frac{1} {\sin{x}}

주기성, 대칭성, 이동(Shifts)[편집]

다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.

 \sin{x} = \sin(x + 2k\pi) \qquad  \cos{x} = \cos(x + 2k\pi) \qquad \tan{x} = \tan(x + k\pi)
 \sec{x} = \sec(x + 2k\pi) \qquad  \csc{x} = \csc(x + 2k\pi) \qquad \cot{x} = \cot(x + k\pi)

다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.


\begin{matrix}
\sin(-x) = -\sin{x}, & & \sin\left({\pi \over 2} - x\right) = \cos{x}, & & \sin\left(\pi - x\right) = \;\;\sin{x} \\
\cos(-x) =\;\;\cos{x}, & & \cos\left({\pi \over 2} - x\right) = \sin{x}, & & \cos\left(\pi - x\right) = -\cos{x} \\
\tan(-x) = -\tan{x}, & & \tan\left({\pi \over 2} - x\right) = \cot{x}, & & \tan\left(\pi - x\right) = -\tan{x} \\
\cot(-x) = -\cot{x}, & & \cot\left({\pi \over 2} - x\right) = \tan{x}, & & \cot\left(\pi - x\right) = -\cot{x} \\
\sec(-x) =\;\;\sec{x}, & & \sec\left({\pi \over 2} - x\right) = \csc{x}, & & \sec\left(\pi - x\right) = -\sec{x} \\
\csc(-x) = -\csc{x}, & & \csc\left({\pi \over 2} - x\right) = \sec{x}, & & \csc\left(\pi - x\right) = \;\;\csc{x}
\end{matrix}

다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.


\begin{matrix}
\sin\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\cos{x}, & & \sin\left(x + \pi\right) = - \sin{x} \\
\cos\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \sin{x}, & & \cos\left(x + \pi\right) = - \cos{x} \\
\tan\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \cot{x}, & & \tan\left(x + \pi\right) = \;\;\tan{x} \\
\cot\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \tan{x}, & & \cot\left(x + \pi\right) = \;\;\cot{x} \\
\sec\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \csc{x}, & & \sec\left(x + \pi\right) = - \sec{x} \\
\csc\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\sec{x}, & & \csc\left(x + \pi\right) = - \csc{x}
\end{matrix}

또한, 주기가 같지만, (phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.

a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)

여기서


  \varphi=
   \begin{cases}
    \arctan{\frac b a},&\mbox{if }a\ge0 \\
    \arctan{\frac b a} \pm \pi,&\mbox{if }a<0
   \end{cases}

피타고라스 정리[편집]

 \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \qquad \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \qquad  \cot^2{x} + 1 = \csc^2{x}

덧셈 정리[편집]

다음을 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.

\sin(x \pm y) = \sin{x} \cos{y} \pm \cos{x} \sin{y}\,
\cos(x \pm y) = \cos{x} \cos{y} \mp \sin{x} \sin{y}\,
(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함.)
\tan(x \pm y) = \frac{\tan{x} \pm \tan{y}}{1 \mp \tan{x}\tan{y}}
\cot(x \pm y) = \frac{\cot{y}\cot{x} \mp 1}{\cot{y} \pm \cot{x}}
{\rm c\dot{\imath} s}(x+y)={\rm c\dot{\imath} s}{x}\,{\rm c\dot{\imath} s}{y}
{\rm c\dot{\imath} s}(x-y)={{\rm c\dot{\imath} s}{x}\over{\rm c\dot{\imath} s}{y}}

여기서

{\rm c\dot{\imath} s}{x} = \exp(i x) = e^{i x} = \cos{x}+i \sin{x}\,
 i^{2}=-1.\,

두배각 공식[편집]

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 x = y로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)에서 n = 2로 놓아도 된다.

\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \,
\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}  = 2 \cos^2{x} - 1 = 1 - 2 \sin^2{x} = \frac{1-\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}\,
\tan{2x} = \frac{2 \tan {x}} {1 - \tan^2{x}}
\frac{\tan^2{x}-1}{\tan{x}} = \frac{-2} {\tan{2x}}
\cot{2x} = \frac{\cot^2{x}-1}{2\cot{x}}

세배각 공식[편집]

아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

\sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}\,
\cos{3x} = 4\cos^3{x} - 3\cos{x}\,
\tan{3x} = \frac{3\tan{x} - \tan^3{x}} {1 - 3\tan^2{x}}

네배각 공식[편집]

아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.

\sin{4x} = 4\sin{x}\cos{x} - 8\sin^3{x}\cos{x}
\cos{4x} = 8\cos^4{x} - 8\cos^2{x} + 1
\tan{4x} = \frac{4\tan{x} - 4\tan^3{x}}{1 - 6\tan^2{x} + \tan^4{x}}

다섯배각 공식[편집]

\sin{5x} = 5\sin{x} - 20\sin^3{x} + 16\sin^5{x}
\cos{5x} = 5\cos{x} - 20\cos^3{x} + 16\cos^5{x}
\tan{5x} = \frac{\tan^5{x} - 10\tan^3{x} + 5\tan{x}}{1 - \tan^2{x} + \tan^4{x}}

여섯배각 공식[편집]

\sin{6x} = 6\sin{x}\cos{x} - 32\sin^3{x}\cos^3{x}
\cos{6x} = 32\cos^6{x} - 48\cos^4{x} +18\cos^2{x} - 1

n배각 공식[편집]

T_nn번째 체비셰프 다항식(Chebyshev polynomial)일 때,

\cos{nx}=T_n(\cos{x})

드 무아브르의 공식(De Moivre's formula):

\cos{nx}+i\sin{nx}=(\cos{x}+i\sin{x})^n

디리클레 핵D_n(x) 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :

1+2\cos{x}+2\cos{2x}+2\cos{3x}+\cdots+2\cos{nx}=\frac{\sin{\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{\sin{x \over 2}}

디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

차수 줄이기[편집]

n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.

이차식 공식[편집]

두배각 공식의 코사인 공식을 \cos^2{x}\sin^2{x}으로 푼다.

\cos^2{x} = {1 + \cos{2x} \over 2}
\sin^2{x} = {1 - \cos{2x} \over 2}
\tan^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{1 + \cos{2x}}
\cot^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{1 - \cos{2x}}

삼차식 공식[편집]

\sin^3{x} = \frac{3\sin{x} - \sin{3x}}{4}
\cos^3{x} = \frac{3\cos{x} + \cos{3x}}{4}

사차식 공식[편집]

\sin^4{x} = \frac{3 - 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8}
\cos^4{x} = \frac{3 + 4\cos{2x} + \cos{4x}}{8}

오차식 공식[편집]

\sin^5{x} = \frac{10\sin{x} - 5\sin{3x} + \sin{5x}}{16}
\cos^5{x} = \frac{10\cos{x} + 5\cos{3x} + \cos{5x}}{16}

반각 공식[편집]

차수 줄이기 이차식 공식에서 x\textstyle \frac x 2로 대입하고, \textstyle \cos \frac x 2\textstyle \sin \frac x 2으로 푼다.

\left|\cos{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{{\frac{1 + \cos{x}}{2}}}
\left|\sin{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{{\frac{1 - \cos{x}}{2}}}
\left|\tan{\frac{x}{2}}\right| =\sqrt{\frac{1 - \cos{x}}{1 + \cos{x}}}

또한, \textstyle \tan \frac x 2\textstyle \frac {\sin \frac x 2} {\cos \frac x 2}과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 \textstyle 2 \cos \frac x 2을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 \sin x이 되고, 분모는 \textstyle 2 \cos^2 \frac x 2 - 1 + 1 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 \cos x + 1 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 \sin x를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

\tan{\frac{x}{2}} =\frac{\sin{x}}{\cos{x} + 1} = \frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} =\csc{x} - \cot{x}

곱을 합으로 바꾸는 공식[편집]

우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

\sin{x} \cos{y} = {\sin(x + y) + \sin(x - y) \over 2}
\cos{x} \sin{y} = {\sin(x + y) - \sin(x - y) \over 2}
\cos{x} \cos{y} = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}
\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}

합를 곱으로 바꾸는 공식[편집]

위 식의 x\textstyle \frac{x + y}{2}로, y\textstyle \frac{x - y}{2} 로 바꾼다.

\sin{x} \pm \sin{y} = 2 \sin\left( \frac{x \pm y}{2} \right) \cos\left( \frac{x \mp y}{2} \right)
\cos{x} + \cos{y} = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)
\cos{x} - \cos{y} = -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)
\tan{x} \pm \tan{y} = \frac{\sin{(x \pm y)}}{\cos{x}\cos{y}}


그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.

\frac{\sin{x} + \sin{y}}{\sin{x} - \sin{y}} = \frac{\tan{{1 \over 2}(x+y)}}{\tan{{1 \over 2}(x-y)}}
\frac{\sin{x} + \sin{y}}{\cos{x} - \cos{y}} = \cot{{1 \over 2}(y-x)}
\frac{\sin{x} + \sin{y}}{\cos{x} + \cos{y}} = \tan{{1 \over 2}(x+y)}
\frac{\sin{x} - \sin{y}}{\cos{x} + \cos{y}} = \tan{{1 \over 2}(x-y)}

삼각함수의 역함수[편집]

역삼각함수라고도 한다.

x > 0 이면

\arctan{x}+\arctan{\frac 1 x}=\frac{\pi}{2}.

만약 x < 0 이면, 등식 우변이 \textstyle -\frac \pi 2가 된다.

\arctan{x}+\arctan{y}=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)

피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.

\cos(\arcsin{x})=\sqrt{1-x^2}

변수 없는 항등식[편집]

리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.

\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac 1 8

그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (\scriptstyle x=20^\circ, k=3을 넣고, \scriptstyle \sin x = \sin (180^\circ-x)를 이용 우변을 정리한다.)

\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin{x}}

다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.

\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac 1 2
\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac 1 2

21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.

\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac 1 2

1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 21/2보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

미적분학[편집]

미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0

을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다. (참고 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2})

{d \over dx}\sin{x} = \cos{x}

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.

{d \over dx}\cos{x} = -\sin{x}
{d \over dx}\tan{x} = \sec^2{x}
{d \over dx}\csc{x} = -\csc{x}\cot{x}
{d \over dx}\sec{x} = \sec{x}\tan{x}
{d \over dx}\cot{x} = -\csc^2{x}
{d \over dx}\arcsin{x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
{d \over dx}\arccos{x} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
{d \over dx}\arctan{x} = \frac{1}{1+x^2}
{d \over dx}\arcsec{x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}

적분식은 적분표를 참고하라.

참고 문헌[편집]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0