삼각함수 항등식

삼각함수 항등식(三角函數 恒等式)은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 $\sin^2$, $\cos^2$ 등의 함수는 $\sin^2{x} = (\sin{x})^2$와 같이 정의된다.

삼각함수의 정의에서

$\cos{x} = \sin\left( x + {\pi \over 2} \right)$

$\tan {x} = \frac {\sin {x}} {\cos{x}} \qquad \operatorname{cot}{x} = \frac {\cos {x}} {\sin{x}} = \frac{1} {\tan{x}}$

$\operatorname{sec}{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \operatorname{csc}{x} = \frac{1} {\sin{x}}$

주기성, 대칭성, 이동(Shifts)

다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.

다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.

$\sin{x} = \sin(x + 2k\pi) \qquad \cos{x} = \cos(x + 2k\pi) \qquad \tan{x} = \tan(x + k\pi)$

$\sec{x} = \sec(x + 2k\pi) \qquad \csc{x} = \csc(x + 2k\pi) \qquad \cot{x} = \cot(x + k\pi)$

다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.

$\begin{matrix} \sin(-x) = -\sin{x}, & & \sin\left({\pi \over 2} - x\right) = \cos{x}, & & \sin\left(\pi - x\right) = \;\;\sin{x} \\ \cos(-x) =\;\;\cos{x}, & & \cos\left({\pi \over 2} - x\right) = \sin{x}, & & \cos\left(\pi - x\right) = -\cos{x} \\ \tan(-x) = -\tan{x}, & & \tan\left({\pi \over 2} - x\right) = \cot{x}, & & \tan\left(\pi - x\right) = -\tan{x} \\ \cot(-x) = -\cot{x}, & & \cot\left({\pi \over 2} - x\right) = \tan{x}, & & \cot\left(\pi - x\right) = -\cot{x} \\ \sec(-x) =\;\;\sec{x}, & & \sec\left({\pi \over 2} - x\right) = \csc{x}, & & \sec\left(\pi - x\right) = -\sec{x} \\ \csc(-x) = -\csc{x}, & & \csc\left({\pi \over 2} - x\right) = \sec{x}, & & \csc\left(\pi - x\right) = \;\;\csc{x} \end{matrix}$

다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

$\begin{matrix} \sin\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\cos{x}, & & \sin\left(x + \pi\right) = - \sin{x} \\ \cos\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \sin{x}, & & \cos\left(x + \pi\right) = - \cos{x} \\ \tan\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \cot{x}, & & \tan\left(x + \pi\right) = \;\;\tan{x} \\ \cot\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \tan{x}, & & \cot\left(x + \pi\right) = \;\;\cot{x} \\ \sec\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \csc{x}, & & \sec\left(x + \pi\right) = - \sec{x} \\ \csc\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\sec{x}, & & \csc\left(x + \pi\right) = - \csc{x} \end{matrix}$

또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)$

여기서

$\varphi= \begin{cases} \arctan{\frac b a},&\mbox{if }a\ge0 \\ \arctan{\frac b a} \pm \pi,&\mbox{if }a<0 \end{cases}$

피타고라스 정리

$\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \qquad \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \qquad \cot^2{x} + 1 = \csc^2{x}$

덧셈 정리

다음을 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.

$\sin(x \pm y) = \sin{x} \cos{y} \pm \cos{x} \sin{y}\,$

$\cos(x \pm y) = \cos{x} \cos{y} \mp \sin{x} \sin{y}\,$

(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함.)

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan{x} \pm \tan{y}}{1 \mp \tan{x}\tan{y}}$

${\rm c\dot{\imath} s}(x+y)={\rm c\dot{\imath} s}{x}\,{\rm c\dot{\imath} s}{y}$

${\rm c\dot{\imath} s}(x-y)={{\rm c\dot{\imath} s}{x}\over{\rm c\dot{\imath} s}{y}}$

여기서

${\rm c\dot{\imath} s}{x} = \exp(i x) = e^{i x} = \cos{x}+i \sin{x}\,$

$i^{2}=-1.\,$

두배각 공식

다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 $x = y$로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)에서 $n = 2$로 놓아도 된다.

$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \,$

$\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} = 2 \cos^2{x} - 1 = 1 - 2 \sin^2{x} \,$

$\tan{2x} = \frac{2 \tan {x}} {1 - \tan^2{x}}$

$\frac{\tan^2{x}-1}{\tan{x}} = \frac{-2} {\tan{2x}}$

세배각 공식

아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

$\sin{3x} = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}\,$

$\cos{3x} = 4\cos^3{x} - 3\cos{x}\,$

$\tan{3x} = \frac{3\tan{x} - \tan^3{x}} {1 - \tan^2{x}}$

n배각 공식

$T_n$이 $n$번째 체비셰프 다항식(Chebyshev polynomial)일 때,

$\cos{nx}=T_n(\cos{x})$

드 무아브르의 공식(De Moivre's formula):

$\cos{nx}+i\sin{nx}=(\cos{x}+i\sin{x})^n$

디리클레 핵$D_n(x)$ 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :

$1+2\cos{x}+2\cos{2x}+2\cos{3x}+\cdots+2\cos{nx}=\frac{\sin{\left(n+\frac{1}{2}\right)x}}{\sin{x \over 2}}$

디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

차수 줄이기

두배각 공식의 코사인 공식을 $\cos^2{x}$ 과 $\sin^2{x}$으로 푼다.

$\cos^2{x} = {1 + \cos{2x} \over 2}$

$\sin^2{x} = {1 - \cos{2x} \over 2}$

반각 공식

차수 줄이기 공식의 $\textstyle \frac x 2$ 를 $x$ 로 바꾸어 넣고, $\textstyle \cos \frac x 2$ 과 $\textstyle \sin \frac x 2$으로 푼다.

$\left|\cos{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{{\frac{1 + \cos{x}}{2}}}$

$\left|\sin{\frac{x}{2}}\right| = \sqrt{{\frac{1 - \cos{x}}{2}}}$

$\textstyle \tan \frac x 2$는 $\textstyle \frac {\sin \frac x 2} {\cos \frac x 2}$과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 $\textstyle 2 \cos \frac x 2$을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 $\sin x$이 되고, 분모는 $\textstyle 2 \cos^2 \frac x 2 - 1 + 1$ 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 $\cos x + 1$ 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 $\sin x$를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

$\tan{\frac{x}{2}} = \frac{\sin{x}}{\cos{x} + 1} = \frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}}$

곱을 합으로 바꾸는 공식

우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

$\sin{x} \cos{y} = {\sin(x + y) + \sin(x - y) \over 2}$

$\cos{x} \sin{y} = {\sin(x + y) - \sin(x - y) \over 2}$

$\cos{x} \cos{y} = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\sin{x} \sin{y} = -{\cos(x + y) - \cos(x - y) \over 2}$

합를 곱으로 바꾸는 공식

위 식의 $x$를 $\textstyle \frac{x + y}{2}$로, $y$를 $\textstyle \frac{x - y}{2}$ 로 바꾼다.

$\sin{x} + \sin{y} = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)$

$\sin{x} - \sin{y} = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)$

$\cos{x} + \cos{y} = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)$

$\cos{x} - \cos{y} = -2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)$

삼각함수의 역함수

$x > 0$ 이면

$\arctan{x}+\arctan{\frac 1 x}=\frac{\pi}{2}.$

만약 $x < 0$ 이면, 등식 우변이 $\textstyle -\frac \pi 2$가 된다.

$\arctan{x}+\arctan{y}=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.

$\cos(\arcsin{x})=\sqrt{1-x^2}$

변수 없는 항등식

리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac 1 8$

그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. ($\scriptstyle x=20^\circ, k=3$을 넣고, $\scriptstyle \sin x = \sin (180^\circ-x)$를 이용 우변을 정리한다.)

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin{x}}$

다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.

$\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac 1 2$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac 1 2$

21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.

$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{2(2\pi)}{21}+\cos\frac{4(2\pi)}{21}+\cos\frac{5(2\pi)}{21}+\cos\frac{8(2\pi)}{21}+\cos\frac{10(2\pi)}{21}=\frac 1 2$

1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 ²¹/₂보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

미적분학

미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$

과

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}=0$

을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.

${d \over dx}\sin{x} = \cos{x}$

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.

${d \over dx}\cos{x} = -\sin{x}$

${d \over dx}\tan{x} = \sec^2{x}$

${d \over dx}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

${d \over dx}\arctan{x}=\frac{1}{1+x^2}$

적분식은 적분표를 참고하라.

참고 문헌

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0