사용자:Kobmuiv/심플렉틱 다양체

수학의 한 분야인 미분기하학에서 심플렉틱 다양체는 닫힌 비축퇴 제 2미분형식 $\omega$이 주어진 매끄러운 다양체 $M$이며, $\omega$를 심플렉틱 형식라고 한다. 심플렉틱 다양체에 대한 연구를 심플렉틱 기하학 또는 심플렉틱 위상수학이라고 한다. 심플렉틱 다양체는 다양체의 여접다발로서 고전 역학 및 해석 역학의 추상적 공식화에서 자연스럽게 발생한다. 예를 들어, 응용에서 주요 동기 중 하나를 제공하는 고전 역학의 해밀턴 형식화에서 계의 모든 가능한 구성은 다양체로 모델링되며 이 다양체의 여접다발은 계의 페이즈 공간을 설명한다.

동기 부여

심플렉틱 다양체는 고전 역학에서 발생한다. 특히 이들은 닫힌 계의 페이즈 공간을 일반화한 것이다. 해밀턴 방정식이 연립 미분 방정식으로부터 계의 시간 진화를 도출할 수 있도록 하는 것과 같은 방식으로 심플렉틱 형식은 해밀턴 함수 $H$의 미분 $dH$로부터 계의 흐름을 설명하는 벡터장을 얻을 수 있도록 해야 한다. 따라서 접다양체 $TM$에서 여접다양체 $T^{*}M$로 가는 선형 사상 $TM\rightarrow T^{*}M$ 또는 동등하게 $T^{*}M\otimes T^{*}M$의 원소가 필요하다. $\omega$가$T^{*}M\otimes T^{*}M$의 단면을 나타내도록 하면 $\omega$가 축퇴하지 않는다는 요구 사항은 모든 미분 $dH$에 대해 $dH=\omega (V_{H},\cdot )$가 되는 유일한 대응 벡터장 $V_{H}$가 있음을 보장한다. 해밀토니안이 흐름선을 따라 일정하기를 원하기 때문에 $\omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0$이어야 하며, 이는 $\omega$가 교대적이고 따라서 제 2미분형식임을 의미한다. 마지막으로, $\omega$가 흐름선 아래에서 변경되지 않아야 한다는 요구 사항을 만든다. 즉, $V_{H}$를 따라 $\omega$의 리 미분이 0이다. 카르탕 공식을 적용하면 (여기서 $\iota _{X}$는 내부곱이다):

${\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0$

대응하는 $V_{H}$가 이 과정이 적용되는 각 점에서 접공간을 생성하는 다른 매끄러운 함수 $H$에 대해 이 과정을 반복할 때, 임의의 매끄러운 함수$H$에 대응하는 $V_{H}$의 흐름을 따른 리 미분이 사라진다는 조건은 $\omega$가 닫힌 형식이라는 조건과 동일하다.

정의

매끄러운 다양체 $M$의 심플렉틱 형식은 닫힌 비축퇴 미분 2형식 $\omega$이다. 여기서 퇴화되지 않는다는 것은 모든 점 $p\in M$에 대해, 접공간 $T_{p}M$의 반대칭 쌍이 퇴화되지 않는 $\omega$에 의해 정의 된다. 즉, 모든 $Y\in T_{p}M$에 대해 $\omega (X,Y)=0$인 $X\in T_{p}M$가 존재하면, $X=0$이다. 홀수 차원에서 반대칭 행렬은 항상 특이 행렬이므로 다음 요구 사항이 있다. $\omega$ 퇴화되지 않는다는 것은 다음을 의미한다. $M$ 균일한 차원을 갖는다. 닫힌 상태는 $\omega$의 외미분이 사라짐을 의미한다. 심플렉틱 다양체는 쌍 $(M,\omega )$이다. 여기서 $M$은 매끄러운 다양체이며 $\omega$는 심플렉틱의 형식이다. 심플렉틱 형식을 $M$에 할당하는 것을 $M$에 심플렉틱 구조를 준다고 한다.

예

심플렉틱 벡터 공간

  $\{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}$를 $\mathbb {R} ^{2n}$의 기저라 하자. 이를 기저로 심플렉틱 형식 ω를 정의한다.

$\omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

이 경우 심플렉틱 형식은 단순 이차 형식으로 축소된다. $I_{n}$이 $n\times n$ 항등 행렬을 나타내는 경우 이 2차 형식의 행렬 $\Omega$은 $2n\times 2n$ 블록 행렬로 제공된다.

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.$

여접다발

$Q$가 $n$차원 매끄러운 다양체라 하자. 그러면 여접다발의 전체 공간 $T^{*}Q$는 푸앵카레 제 2미분형식 또는 표준 심플렉틱 형식이라고 불리는 자연스러운 심플렉틱 형식을 가진다.

$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}$

여기서 $(q^{1},\ldots ,q^{n})$들은 $Q$ 위의 임의의 국소 좌표 그리고 $(p_{1},\ldots ,p_{n})$들은 여접벡터 $dq^{1},\ldots ,dq^{n}$에 대한 올마다 주어진 좌표이다. 여접다발은 고전 역학의 자연 페이즈 공간이다. 위와 아래 첨자를 구분하는 이유는 리만 다양체의 경우와 마찬가지로 계량 텐서를 갖는 다양체의 경우에 의해 구동된다. 상위 및 부분 인덱스는 좌표의 변경에 따라 반변 및 공변적으로 변환된다. "여접벡터에 대한 올마다 주어진 좌표"라는 문구는 운동량 $p_{i}$이 속도 $dq^{i}$에 " 납땜 "된다. 납땜은 속도와 모멘텀이 동일선상에 있다는 생각을 표현한 것이다. 둘 다 같은 방향으로 움직이고 배율에 따라 다르다.

켈러 다양체

켈러 다양체는 호환 가능한 적분 가능한 복소 구조를 갖춘 심플렉틱 다양체이다. 그것들은 복소 다양체의 특정 부류를 형성한다. 많은 종류의 예가 복소 대수 기하학에서 나온다. 매끄러운 복소 사영 다형체 $V\subset \mathbb {CP} ^{n}$ 사영 공간 $\mathbb {CP} ^{n}$에 주어진 푸비니-슈투디 계량의 제한인 심플렉틱 형식을 가진다.

버금 복소 다양체

$\omega$-호환 버금 복소 구조를 갖는 리만 다양체를 버금 복소 다양체라고 한다. 그들은 적분가능 할 필요가 없다는 점에서 켈러 다양체를 일반화한다. 즉, 반드시 다양체의 복소 구조에서 발생하는 것은 아니다.

라그랑주 및 기타 부분 다양체

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$의 부분다양체에 대한 몇 가지 자연스러운 기하학적 개념이 있다:

• $M$의 심플렉틱 부분다양체 (잠재적으로 모든 짝수 차원)은 $\omega |_{S}$가 $S$ 위의 심플렉틱 형식이 되는 부분 다양체 $S\subset M$이다.
• 등방 부분다양체는 심플렉틱 형식가 0으로 제한되는 부분다양체이다. 즉, 각 접공간은 배경 다양체의 접공간의 등방성 부분공간이다. 마찬가지로, 부분다양체에 대한 각 접부분공간이 여등방(등방 부분공간의 쌍대)인 경우, 부분다양체를 여등방이라고 한다.
• 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$의 라그랑주 부분다양체 는 $L\subset M$에서 심플렉틱 형식 $\omega$이 0이되는 부분 다양체이다. 즉 $\omega |_{L}=0$ 그리고 ${\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M$ . 라그랑주 부분다양체는 최대 등방 부분다양체이다.

한 가지 주요 예는 곱 심플렉틱 다양체 (M × M, ω × −ω)의 심플렉틱 동형사상 그래프가 라그랑지안이라는 것이다. 이들의 교차점은 매끄러운 다양체에 없는 강한 특성을 나타낸다. 아르놀드 추측은 매끄러운 경우의 오일러 특성이 아니라 매끄러운 라그랑지안 부분 다양체의 자기 교차 수에 대한 하한으로 부분 다양체의 베티수의 합을 제공한다.

예

$\mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}$에 첨자가 지정된 전역 좌표가 있다. $(x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})$. 그러면 $\mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}$에 표준 심플렉틱 형식

$\omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.$

울 줄 수 있다. $\mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}$ 주어진 표준 라그랑주 부분 다양체가 있다. 심플렉틱 형식 $\omega$은 $\mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}$ 위에서 사라진다. 왜냐하면, 임의의 주어진 접벡터 쌍$X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}}$에 대해 $\omega (X,Y)=0$이기 때문이다. $n=1$인 경우, $X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},$ 그리고 $\omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$ 이다. 우리가 이것을 확장할 때

$\omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))$

두 항들 모두 $\mathrm {d} y(\partial _{x})$ 인수는 정의에 따라 0이다.

예: 여접다발

다양체의 여접다발은 첫 번째 예와 유사한 공간에서 국소적으로 모델링된다. 우리는 이러한 아핀 심플렉틱 형식를 이어 붙일 수 있으므로 이 다발이 심플렉틱 다양체를 형성한다는 것을 알 수 있다. 라그랑주 부분다양체의 덜 자명한 예는 다양체의 여접다발의 영 단면이다. 예를 들어

$X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.$

그러면 $T^{*}X$를 다음과 같이 적을 수 있다:

$T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}$

여기서 $\mathrm {d} x,\mathrm {d} y$는 $\mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}$의 좌표로 다루고 있다. 영 단면을 제공하는 $\mathrm {d} x=0$, $\mathrm {d} y=0$인 부분 집합을 고려할 수 있다. 이 예는 매끄러운 함수들 $f_{1},\dotsc ,f_{k}$의 영점 궤적과 그 미분 $\mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}$으로 정의되는 모든 다양체에 대해 반복될 수 있다.

예: 매개변수부분 다양체

표준 공간 $\mathbb {R} ^{2n}$과 좌표$(q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})$를 고려하자. $\mathbb {R} ^{2n}$의 매개변수 부분 다양체 $L$ 는 좌표 $(u_{1},\dotsc ,u_{n})$에 의해 다음과 같이 매개변수화되는 것이다.

$q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})$

이 다양체는 라그랑주 괄호 $[u_{i},u_{j}]$가 모든 $i,j$에 대해 0인 경우 라그랑주 부분다양체이다. 즉, 다음과 같은 경우 라그랑주 부분다양체이다: 모든 $i,j$에 대해,

$[u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0$

전개해보면 라그랑지안 부분다양체 $L$의 조건에서 다음을 알 수 있다:

${\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}$

이것은 심플렉틱 형식이 접다양체 $TL$에서 사라져야 한다는 것이다.; 즉, 모든 접벡터에 대해 사라져야 한다. 모든 $i,j$ 에 대해,

$\omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0$

$\mathbb {R} ^{2n}$의 표준 심플렉틱 형식을 사용하여 결과를 단순화한다:

$\omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1$

그리고 나머지는 모두 사라진다.

심플렉틱 다양체의 국소 좌표 조각이 표준 형식을 취하기 때문에 이 예는 라그랑주 부분 다양체가 상대적으로 제한되지 않음을 나타낸다. 심플렉틱 다양체의 분류는 플로어 호몰로지을 통해 이루어진다. 이것은 라그랑지안 부분 다양체 사이의 사상에 대한 작용 범함수에 모스 이론을 적용한 것이다. 물리학에서 작용은 물리적 계의 시간 변화를 설명한다. 여기서는 막의 역학에 대한 설명으로 볼 수 있다.

예: 모스 이론

라그랑지안 부분다양체들의 또 다른 유용한 클래스는 모스 이론에서 발생한다. 주어진 모스 함수 $f:M\to \mathbb {R}$ 그리고 충분히 작은 $\varepsilon$ 소멸 궤적 $\mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M$에 의해 주어진 라그랑지안 부분다양체를 구성할 수 있다. 일반 모스 함수의 경우 라그랑지안 교집합은 $M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)$과 같다.

특수 라그랑지안 부분다양체

켈러 다양체(또는 칼라비-야우 다양체)의 경우 $\Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}$을 $M$에 정칙 n형식으로 선택할 수 있다. 여기서 $\Omega _{1}$는 실수부이고 $\Omega _{2}$는 허수부이다. 라그랑주 부분다양체 $L$ 위의 라그랑주 조건에 추가로 제한 $\Omega _{2}$이 사라지는 경우 특수하다라고 한다. 즉, $L$에 제한되 실수부 $\Omega _{1}$는 $L$ 위의 부피형식을 유도한다. 다음 예는 특수 라그랑지안 부분 다양체로 알려져 있다.

1. 초켈러 다양체의 복소 라그랑주 부분 다양체,
2. 칼라비-야우 다양체의 실구조의 고정점.

SYZ 추측은 거울 대칭에서 특수 라그랑지안 부분 다양체의 연구를 다룬다. (Hitchin 1999)를 보라.

토마스-야우 추측은 라그랑지안들의 해밀턴 동위 동치류에서 칼라비-야우 다양체에 있는 특별한 라그랑지안 부분 다양체의 존재가 다양체의 푸카야범주에 대한 안정성 조건과 관련하여 안정성과 동일하다고 예측한다.

라그랑주 올화

심플렉틱 다양체 M의 라그랑주 올화는 모든 올이 라그랑주 부분 다양체인 올화이다. M 은 짝수차원이기 때문에 우리는 지역 좌표 (p₁,…,p_n, q¹,…,qⁿ), 취할 수 있고 Darboux의 정리에 의해 심플렉틱 형식 Ω는 적어도 국소적으로 ω = ∑ dp_k ∧ dq^k과 같이 쓸 수 있다. 여기서 d는 외미분을 나타내고 ∧는 쐐기곱을 나타낸다. 이 형식을 푸앵카레 제 2미분형식 또는 표준 제 2미분형식이라고 한다. 이 설정을 사용하여 M을 여접다발 $T^{*}\mathbb {R} ^{n}$과 자명한 올화로서 라그랑주 올화 $\pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$로 국소적으로 생각할 수 있다. 이것이 표준적인 설정이다.

라그랑주 사상

L을 몰입 i : L ↪ K 에 의해 주어진 심플렉틱 다양체( K ,ω)의 라그랑주 부분 다양체라고 하자.i : L ↪ K ( i를 라그랑주 몰입 이라고 함). π : K ↠ B 하자π : K ↠ B K 의 라그랑지안 올화를 제공한다. 합성 (π ∘ i) : L ↪ K ↠ B 는 라그랑주 사상이다. π ∘ i 의 임계값 집합을 가성이라고 한다.

2개의 라그랑주 사상 (π₁ ∘ i₁) : L₁ ↪ K₁ ↠ B₁ 및 (π₂ ∘ i₂) : L₂ ↪ K₂ ↠ B₂ 오른쪽 가환 그림에 주어진 양쪽이 같은 미분동형사상들 σ, τ 및 ν 가 존재하고 τ 가 심플렉틱 형식를 유지하는 경우 라그랑주 동형라고 한다:

$\tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,$

여기서 τ ^∗ ω ₂는 τ 에 의한 ω ₂의 당김을 나타낸다.

특별한 경우와 일반화

• 심플렉틱 형식 $\omega$이 완전하면 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 완전하다고 한다. 예를 들어, 평활 다양체의 여접다발은 완전 심플렉틱 다양체이다. 표준 심플렉틱 형식도 완전하다.
• 심플렉틱 형식과 호환되는 계량이 부여된 심플렉틱 다양체는 접다발이 버금 복소 구조를 갖는다는 점에서 버금 켈러 다양체이지만 적분가능 할 필요는 없다.
• 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체의 특별한 경우이다.
• k차 다중 심플렉틱 다양체는 닫힌 비축퇴 k 형태를 갖춘 다양체이다.
• 다중 심플렉틱 다양체는 다중심 플렉틱 접벡터값$(n+2)$-미분형식 함께 제공되는 르장드르 다발이다; 이는 해밀턴 장론에서 이용된다.

같이보기

 

• Almost symplectic manifold
• Contact manifold—an odd-dimensional counterpart of the symplectic manifold.
• Covariant Hamiltonian field theory
• Fedosov manifold
• Poisson bracket
• Symplectic group
• Symplectic matrix
• Symplectic topology
• Symplectic vector space
• Symplectomorphism
• Tautological one-form
• Wirtinger inequality (2-forms)

일반 및 인용 참조

• McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). 《Introduction to Symplectic Topology》. Oxford Mathematical Monographs. ISBN 0-19-850451-9. 
• Auroux, Denis. “Seminar on Mirror Symmetry”. 
• Meinrenken, Eckhard. “Symplectic Geometry” (PDF). 
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). 《Foundations of Mechanics》. London: Benjamin-Cummings. See Section 3.2. ISBN 0-8053-0102-X. 
• de Gosson, Maurice A. (2006). 《Symplectic Geometry and Quantum Mechanics》. Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4. 
• Alan Weinstein (1971). “Symplectic manifolds and their lagrangian submanifolds”. 《Advances in Mathematics》 6 (3): 329–46. doi:10.1016/0001-8708(71)90020-X. 
• Arnold, V. I. (1990). 〈Ch.1, Symplectic geometry〉. 《Singularities of Caustics and Wave Fronts》. Mathematics and Its Applications 62. Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC 22509804. 

추가 자료

•  Dunin-Barkowski, Petr (2022). “Symplectic duality for topological recursion”. arXiv:2206.14792 [math-ph]. 
• “How to find Lagrangian Submanifolds”. 《Stack Exchange》. 2014년 12월 17일. 
• Lumist, Ü. (2001). “Symplectic Structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Sardanashvily, G. (2009). “Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory”. 《Lectures for Theoreticians》. arXiv:0908.1886. 
• McDuff, D. (November 1998). “Symplectic Structures—A New Approach to Geometry” (PDF). 《Notices of the AMS》. 
• Hitchin, Nigel (1999). “Lectures on Special Lagrangian Submanifolds”. arXiv:math/9907034. 

[[분류:심플렉틱 기하학]] [[분류:해밀턴 역학]] [[분류:미분위상수학]] [[분류:번역이 검토되지 않은 문서]]