나카지마 화살집 다양체

대수기하학과 그래프 이론에서 나카지마 화살집 다양체([中島]화살집多樣體, 영어: Nakajima quiver variety)는 화살집에 대응되는 특별한 초켈러 다양체이다. 카츠-무디 대수의 표현론과 관련되어 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 화살집 $\Gamma$
• 각 꼭짓점 $i\in \operatorname {V} (\Gamma )$에 대하여, 두 유한 차원 복소수 벡터 공간 $V_{i}$, $W_{i}$

그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.

$E=\bigoplus _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V_{i},W_{i}))\oplus \bigoplus _{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom _{\Gamma }(i,j)}\hom(V_{i},V_{j})$

그 차원은

$\dim V_{i}=v_{i}$

$\dim W_{i}=w_{i}$

로 놓고, $\mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}$ 위의 브라-켓 표기법을 사용하면

$\dim _{\mathbb {C} }E=\langle v|{\mathsf {A}}(\Gamma )|v\rangle +\langle v|w\rangle$

이다. 여기서 ${\mathsf {A}}(\Gamma )$는 $\Gamma$의 인접 행렬이다. 만약 $(V_{i},W_{i})_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}$에 각각 복소수 내적 공간의 구조를 부여하면, $E$ 역시 복소수 내적 공간이 된다. 또한,

$\mathrm {T} ^{*}E\cong E\oplus E^{*}=\bigoplus _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}(\hom(V_{i},W_{i})\oplus \hom(W_{i},V_{i}))\oplus \bigoplus _{i,j\in \operatorname {V} (\Gamma ),\;e\in \hom _{\Gamma }(i,j)}(\hom(V_{i},V_{j})\oplus \hom(V_{j},V_{i}))$

위에는 자연스럽게 사원수 벡터 공간의 구조가 주어진다.

이 위에는 대수군

$G=\prod _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}\operatorname {GL} (V_{i};\mathbb {C} )$

이 작용하며, 이는 $\mathrm {T} ^{*}E$의 초켈러 다양체 구조와 호환된다. $G$의 작용의 운동량 사상

$\mu \colon \mathrm {T} ^{*}E\to {\mathfrak {lie}}(G)^{*}$

의 정귯값 $\zeta \in {\mathfrak {lie}}(G)^{*}$에 대하여 초켈러 몫

$E/\!/\!/G$

를 취할 수 있다. 이는 특이점을 가질 수 있으며, 기하 불변량 이론 몫을 취하여 준안정점이 아닌 점들을 버릴 수 있다. 이렇게 하여 얻는 복소수 대수다양체를 $(\Gamma ,(V_{i},W_{i})_{i\in \operatorname {V} (\Gamma )})$의 나카지마 화살집 다양체라고 한다. 이는 흔히 ${\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)$로 표기된다. 그 복소수 차원은

$\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,v,w)=2(\langle v|({\mathsf {A}}(\Gamma )-1)|v\rangle +\langle v|w\rangle )$

이다. 여기서

$1-{\mathsf {A}}(\Gamma )$

는 일반화 카르탕 행렬이라고 한다. (만약 $\Gamma$가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집이라면, 이는 해당 ADE형 아핀 리 대수의 카르탕 행렬과 같다.)

성질

나카지마 화살집 다양체는 정의에 따라 항상 비(非)콤팩트 초켈러 다양체를 이룬다.

예

ALE 공간

$\Gamma$가 SU(2)의 유한 부분군의 매케이 화살집(즉, 해당 ADE형의 확장 딘킨 도표)라고 하자. (여기서, 자명한 표현에 해당하는 꼭짓점을 버리지 않는다. 즉, 일반 딘킨 도표 대신 확장 딘킨 도표를 사용한다.) 이 경우, 인접 행렬 ${\mathsf {A}}(\Gamma )$는 대각 성분이 0인 정수 계수 대칭 행렬이다.

이제,

$|v\rangle \in (1-{\mathsf {A}}(\Gamma ))=|1\rangle$

$\langle 1|v\rangle =1$

인 $|v\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}$를 고를 수 있다. 여기서 $|1\rangle \in \mathbb {C} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}$은 자명한 표현에 대응되는 매케이 화살집 꼭짓점에 대한 단위 벡터이다. 확장 카르탕 행렬의 핵은 항상 1차원이므로, 이는 $|v\rangle$를 유일하게 결정한다. 그렇다면

${\mathcal {M}}(|v\rangle ,|1\rangle )$

은 해당 유한 부분군에 대한 4차원 점근 국소 유클리드 공간(영어: asymptotically locally Euclidean [ALE] space)이다. 즉, 이 경우

$\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Gamma ,|v\rangle ,|1\rangle )=2$

이다.

이 경우, 초켈러 축소에 등장하는 매개 변수 $\zeta \in \mathbb {R} ^{3}$는 ALE공간의 크기를 결정한다. $\zeta \to 0$ 극한은 ALE 공간이 오비폴드 $\mathbb {R} ^{4}/G$로 가는 극한에 해당한다.

ADHM 작도

 이 부분의 본문은 ADHM 작도입니다.

$\Gamma$가 하나의 꼭짓점과 하나의 변을 갖는 화살집이라고 하자. 그렇다면,

$E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,W)$

$\mathrm {T} ^{*}E=\hom(V,V)\oplus \hom(V,V)\oplus \hom(V,W)\oplus \hom(W,V)$

이다. 이 경우

$\dim _{\mathbb {R} }{\mathcal {M}}(v,w)=4vw$

인 초켈러 다양체를 얻는다. 이는 순간자수가 $k$인 $\operatorname {SU} (w)$ 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간이며, 이는 ADHM 작도와 같다.

이 밖에도, ALE 공간 위의 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간도 위와 마찬가지로 주어진다. 이 경우 $\Gamma$는 SU(2) 유한 부분군 $G$ 매케이 화살집이며, $|v\rangle$와 $|w\rangle$는 순간자의 각종 성질을 나타낸다. 구체적으로, $w$는 순간자가 기본군 $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{4}/G)\cong G$를 돌았을 때의 홀로노미를 묘사하며, $v$는 마찬가지로 각 홀로노미에 대한 순간자수를 묘사한다. 이 경우, 꼭짓점 기저는 $G$의 성분들의 “비아벨 푸리에 변환”에 해당한다.

원환 다양체

만약 모든 $i\in \operatorname {V} (\Gamma )$에 대하여 $\langle i|v\rangle =1$이라면 (즉, 모든 $V_{i}$의 차원이 1이라면) 몫을 취하는 군은 원환면

$G=\operatorname {U} (1)^{|\operatorname {V} (\Gamma )|}$

이며, 이 경우 나카지마 화살집 다양체는 원환 다양체의 특수한 경우이다.

역사

나카지마 화살집 다양체들은 피터 크론하이머(영어: Peter B. Kroneimer)와 나카지마 히라쿠(일본어: 中島 啓 (なかじま ひらく), 1962〜)가 1990년에 ALE 공간 위로 양-밀스 순간자의 ADHM 작도를 일반화하는 동안 최초로 등장하였다. 이후 1994년에 나카지마는 이 구성을 일반적 화살집에 대하여 일반화하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nakajima quiver variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Quiver varieties”. 《nLab》 (영어).