매케이 화살집

군 표현론에서, 매케이 화살집(영어: McKay quiver)은 유한군의 표현에 대하여 대응되는 유한 화살집이다. SL(2;ℂ)의 유한 부분군의 경우 이는 ADE형의 딘킨 도표이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한군 $G$
• 체 $K$. 또한, $\operatorname {char} K\nmid |G|$라고 하자.

그렇다면, 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 의하여 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 유일하게 분해된다. 이제, $G$의 $K$계수 기약 표현들이

$(W_{i})_{i\in I}$

라고 하자. 그렇다면, $G$의 임의의 유한 차원 표현 $V$에 대하여

$V\otimes W_{i}=\bigoplus _{i\in I}n_{ij}V_{j}$

라고 하자 ($n_{ij}\in \mathbb {N}$).

그렇다면, $V$에 대응되는 매케이 화살집 $\Gamma$는 다음과 같은 화살집이다.

• $\operatorname {V} (\Gamma )=I$. 즉, $\Gamma$의 꼭짓점은 $G$의 기약 표현이다.
• $i,j\in I$에 대하여, 만약 $n_{ij}>0$라면 $i\to j$ 변이 존재하며, 그 변의 수는 $n_{ij}$이다.

성질

유한군 $G$의 표현 $\rho$의 쌍대 표현 $\rho ^{*}$의 매케이 화살집은 $\rho$의 매케이 화살집의 반대 화살집(즉, 변의 방항을 모두 뒤집은 화살집)이다. 특히, 만약 $\rho$가 스스로의 쌍대 표현과 동형이라면, 그 매케이 화살집은 스스로의 반대 화살집과 동형이다.

예

자명한 표현의 메케이 화살집

$G$의 자명한 표현 $1$에 대한 매케이 화살집은 모든 꼭짓점에 각각 고리(영어: self-loop)가 하나씩 달리며 다른 변은 존재하지 않는 화살집이다.

SU(2)의 부분군

특히, 만약 $G$가 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {C} )$의 유한 부분군이라고 하고, $V=\mathbb {C} ^{2}$가 2차원 복소수 정의(定義) 표현이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• $n_{ij}=n_{ji}\in \{0,1\}$이며, $n_{ii}=0$이다. 즉, 이 경우 매케이 화살집은 단순히 그래프이며, 이 경우를 매케이 그래프라고 한다.
• 이 그래프는 ADE형의 확장 딘킨 도표의 하나이다.

이들은 다음과 같다.

ADE 표기	이름	SO(3) 부분군	SO(3) 부분군의 콕서터 군 기호	크기	다면체	기약 표현의 수	매케이 그래프
An	순환군 $\operatorname {Cyc} (n+1)$	(없음)		n+1	정$n+1$각뿔	$n+1$	${\begin{smallmatrix}\displaystyle {\overset {1}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\overset {1}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle \cdots &\displaystyle -&\displaystyle {\overset {1}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\overset {1}{\bullet }}\\\displaystyle |&&&&&&&&\displaystyle |\\\displaystyle {\underset {1}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\underset {1}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle \cdots &\displaystyle -&\displaystyle {\underset {1}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\underset {1}{\bullet }}\end{smallmatrix}}$ (원 그래프)
Dn	쌍순환군 $\operatorname {Dic} (n-2)$	정이면체군	(2,2,n−2)	4(n−2)	정$n-2$각형	$n+1$	${\underset {1}{\bullet }}-{\overset {\displaystyle {\overset {1}{\bullet }} \atop \displaystyle |}{\underset {2}{\bullet }}}-{\underset {2}{\bullet }}-\cdots -{\underset {2}{\bullet }}-{\overset {\displaystyle {\overset {1}{\bullet }} \atop \displaystyle |}{\underset {2}{\bullet }}}-{\underset {1}{\bullet }}$
E6	이진 정사면체군	정사면체군	(2,3,3)	24	정사면체	7	${\begin{smallmatrix}&&&&\displaystyle {\overset {1}{\bullet }}\\&&&&\displaystyle |\\&&&&\displaystyle \!\!\!{\scriptstyle 2}{}\bullet {}{\scriptstyle \color {White}2}\!\!\!\\&&&&\displaystyle |\\\displaystyle {\underset {1}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\underset {2}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\underset {3}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\underset {2}{\bullet }}&\displaystyle -&\displaystyle {\underset {1}{\bullet }}\end{smallmatrix}}$
E7	이진 정팔면체군	정팔면체군	(2,3,4)	48	정육면체 · 정팔면체	8	${\underset {1}{\bullet }}-{\underset {2}{\bullet }}-{\underset {3}{\bullet }}-{\overset {\displaystyle {\overset {2}{\bullet }} \atop \displaystyle |}{\underset {4}{\bullet }}}-{\underset {3}{\bullet }}-{\underset {2}{\bullet }}-{\underset {1}{\bullet }}$
E8	이진 정이십면체군	정이십면체군	(2,3,5)	120	정십이면체 · 정이십면체	9	${\underset {2}{\bullet }}-{\underset {4}{\bullet }}-{\overset {\displaystyle {\overset {3}{\bullet }} \atop \displaystyle |}{\underset {6}{\bullet }}}-{\underset {5}{\bullet }}-{\underset {4}{\bullet }}-{\underset {3}{\bullet }}-{\underset {2}{\bullet }}-{\underset {1}{\bullet }}$

매케이 그래프에서, 각 꼭짓점에 붙어 있는 정수는 해당 표현의 크기이다.

SU(3)의 부분군

SU(3)의 정의 표현 3을 사용하여 SU(3)의 유한 부분군에 대하여도 마찬가지로 매케이 화살집을 정의할 수 있다. G₂의 부분군의 경우에도 매케이 화살집들이 분류되었다.

응용

유한군으로 정의된 오비폴드에 D-막을 배치하면, 그 위에는 화살집 게이지 이론이 존재하며, 이 경우 사용되는 화살집은 유한군의 매케이 화살집이다. 이 경우 사용되는 표현은 (각 초다중항에 대하여) R대칭의 표현이다.

역사

존 매케이(영어: John McKay)가 도입하였다.

외부 링크

• “McKay quiver”. 《nLab》 (영어). 
• Sun, Yi. “The McKay correspondence” (PDF) (영어). 
• Lindh, Max. “An introduction to the McKay correspondence” (PDF) (영어).