운동량 사상

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심플렉틱 기하학에서, 운동량 사상(運動量寫像, 영어: momentum map 모멘텀 맵[*], 영어: moment map 모먼트 맵[*])은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다. 해밀턴 역학에서의 운동량각운동량을 일반화한 것이다.

정의[편집]

(M,\omega)심플렉틱 다양체라고 하고, G리 군이라고 하고, 그 리 대수\mathfrak g라고 하자. 군 표현 \rho\colon G\to\operatorname{Ham}(M,\omega)가 주어졌다고 하자. 여기서 \operatorname{Ham}(M,\omega)는 심플렉틱 자기동형사상(심플렉틱 형식 \omega를 보존하는 미분자기동형사상 M\to M)들의 군이다.

리 대수의 원소 \xi\in\mathfrak g에 대하여, M 위에는 G작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장 v_\xi가 존재한다.

v_\xi=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\rho(\exp(t\xi))(x)

G작용 \rho운동량 사상 \mu\colon M\to\mathfrak g^*는 임의의 \xi\in\mathfrak g에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.

d\langle\mu,\xi\rangle=\omega(v_\xi,\cdot)

이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

\partial_j\mu_a=\omega_{ij}v_a^i

여기서 i,j접다발 TM의 지표이고, a는 리 대수 \mathfrak g의 지표다.

심플렉틱 몫공간[편집]

G콤팩트 리 군일 경우, 부분공간 \mu^{-1}(0)\subset MG의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우 \mu^{-1}(0)/GM의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간 \mu^{-1}(0)/G심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 심플렉틱 몫공간(영어: symplectic quotient) 또는 마스덴-와인스타인 몫공간(영어: Marsden-Weinstein quotient)이라고 하며, M/\!/G라고 쓴다.[1] 이 경우

\dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G

이다.

켈러 몫공간[편집]

켈러 다양체심플렉틱 구조복소 구조를 갖춘다. 켈러 다양체 (M,\omega,J) 위에 콤팩트 리 군 G가 작용하고, 이 작용이 심플렉틱 구조 \omega 및 복소 구조 J를 보존한다고 하자. 그렇다면 이에 해당하는 운동량 사상 \mu\colon M\to\mathfrak g^*이 존재하며,

M/\!/G=\mu^{-1}(0)/G

켈러 다양체이다.

초켈러 몫공간[편집]

초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다.[2] 초켈러 다양체 M은 세 개의 선형독립 심플렉틱 구조 \omega_I (I=1,2,3)을 가진다. 군의 작용 G\times M\to M이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상 \mu_I\colon M\to\mathfrak g^*이 존재한다. 이들을 합쳐서

\mu\colon M\to\mathfrak g^*\times\mathbb R^3

을 정의하자. 그렇다면

M/\!/\!/G=\mu^{-1}(0)/G

는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은

\dim_{\mathbb R}(M/\!/\!/G)=\dim_{\mathbb R}M-4\dim_{\mathbb R}G

이다.

[편집]

G가 1차원 아벨 리 군 \mathbb R이라고 하자. 그렇다면 \mu해밀턴 벡터장(영어: Hamiltonian vector field) v를 생성시키는 해밀토니언이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Marsden, Jerrold, Alan Weinstein (1974년 2월). Reduction of symplectic manifolds with symmetry. 《Reports on Mathematical Physics》 5 (1): 121–130. doi:10.1016/0034-4877(74)90021-4. ISSN 0034-4877.
  2. (영어) Hitchin, Nigel J., A. Karlhede, U. Lindström, M. Roček (1987년 12월). Hyper-Kähler metrics and supersymmetry. 《Communications in Mathematical Physics》 108 (4): 535–589. doi:10.1007/BF01214418. Bibcode1987CMaPh.108..535H. MR877637. Zbl 0612.53043. ISSN 0010-3616.