아티야-싱어 지표 정리

미분기하학에서, 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

역사

마이클 아티야와 이자도어 싱어(Isadore Singer)가 1963년에 발표하였다. 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다. 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.

1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.

정의

$M$이 $m$차원 매끈한 콤팩트 미분다양체이고, $E^{i}$가 $M$ 위의 벡터다발들이라고 하자. $M$위의 타원 복합체 (타원 미분 작용소 $D_{i}$들로 이루어진 사슬 복합체)

$\cdots {\stackrel {D_{i-2}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i-1}){\stackrel {D_{i-1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i}){\stackrel {D_{i}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i+1}){\stackrel {D_{i+1}}{\longrightarrow }}\cdots$

의 해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다.

$\operatorname {ind} (D_{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\dim(\ker D_{i}/\operatorname {im} D_{i-1})$.

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다.

타원 복합체의 위상수학적 지표(topological index)는 다음과 같다.

$\operatorname {ind} (D_{\bullet })=(-)^{m(m+1)/2}\int _{M}\operatorname {ch} \left(\bigoplus _{i}(-1)^{i}E_{i}\right){\frac {\operatorname {Td} (TM^{\mathbb {C} })}{e(TM)}}$.

여기서 $\operatorname {ch}$는 벡터다발의 천 지표(Chern character)이고, $\operatorname {Td} (TM^{\mathbb {C} })$는 $M$의 접다발 $TM$의 복소화(complexification)의 토드 류(Todd class)이고, $e(TM)$은 접다발 $TM$의 오일러 류(Euler class)이다. 이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상수학적 지표는 같다.

여기서, $m=\dim M$이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사미분연산자(영어: pseudodifferential operator)에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

예

수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

오일러 지표

$M$이 콤팩트 유향다양체라고 하고, 지표 정리를 드람 복합체

$\Omega ^{-}(M)\xrightarrow {d} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d} \Omega ^{2}(M)\xrightarrow {d} \dotsb$

에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 표수 $\chi (M)$이다. 그 위상수학적 지표는 오일러 류(Euler class) $e(M)$의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem)

$\chi (M)=\int _{M}e(M)$

를 얻는다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리

아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. $M$이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터다발 $E$가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체

$\Omega ^{p,0}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\dotsb$

에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 $E$의 코호몰로지의 오일러 지표

$\chi (M,E)=h^{0}(M,E)-h^{1}(M,E)+h^{2}(M,E)-\dotsb$

이고, 그 위상수학적 지표는

$\int _{M}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (TM)$

이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

참고 문헌

• Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, Topology and Physics》 2판. Taylor & Francis. doi:10.1201/9781420056945. ISBN 978-0-7503-0606-5.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Shanahan, Patrick (1978). 《The Atiyah–Singer Index Theorem: An Introduction》. Lecture Notes in Mathematics 638. Springer. doi:10.1007/BFb0068264. ISBN 978-3-540-08660-4. ISSN 0075-8434. 
• Melrose, Richard B. (1993년 3월 31일). 《The Atiyah–Patodi–Singer Index Theorem》 (PDF). Research Notes in Mathematics 4. A. K. Peters/CRC Press. ISBN 978-1-568-81002-7. 
• Booß, Bernheim; David D. Bleecker (1985). 《Topology and Analysis: The Atiyah–inger Index Formula and Gauge-Theoretic Physics》. Universitext. Springer. doi:10.1007/978-1-4684-0627-6. ISBN 978-0-387-96112-5. ISSN 0172-5939. MR 0771117. 
• Palais, Richard S.; M. F. Atiyah, A. Borel, E. E. Floyd, R. T. Seeley, W. Shih, R. Solovay (1965). 《Seminar on the Atiyah–Singer Index Theorem》 (PDF). Annals of Mathematics Studies 57. Princeton University Press. ISBN 9780691080314. MR 0198494. 

바깥 고리

• Martin Raussen, Christian Skau (2005년 2월). “Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer[[분류:영어 표기를 포함한 문서|아티야-싱어 지표 정리]]” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 52 (2): 223–231.