벡터다발

수학에서 벡터다발(vector bundle)은 공간(위상공간이나 다양체 및 대수다양체 등등)의 각 점마다 벡터공간이 하나씩 달려 있는 것이다. 이때 이 벡터공간들의 집합이 밑 공간과 같은 종류의 공간(위상공간, 다양체, 대수다양체 등등)을 이루어야 한다.

정의 및 기초적 성질

정의 1

벡터다발은 올다발로서 그 올 V가 벡터공간이고, 구조군은 V 상의 가역 선형변환들의 리 군인 것이다.

정의 2

다음의 요소들로 이루어진 구조를 생각해 보자.

1. 위상공간 X와 E. 이들을 각각 '밑 공간'과 '전체 공간'이라고 부른다.
2. 연속함수 π : E → X. 이를 '다발 사영'이라 한다.
3. X의 임의의 점 x에 대해, π^-1({x})에 실벡터공간 구조가 주어진다.

이때 이들이 아래의 호환성 조건을 만족하면 이를 실벡터다발이라 한다.

X의 임의의 점에 대해 적당한 열린 근방 U, 자연수 k, 위상동형사상 $\varphi: U \times \mathbf{R}^{k} \rightarrow \pi^{-1}(U)$가 존재해서, 임의의 U에 속하는 점 x에 대해

• v가 R^k의 임의의 벡터일 때 πφ(x,v) = x이고,
• 함수 v $\mapsto$ φ(x,v)가 벡터공간 R^k에서 π⁻¹({x})로의 동형사상이다.

함께 보기

• 아벨 범주
• 그로텐디크 군