오일러 지표

대수적 위상수학과 조합론에서, 오일러 지표(Euler指標, 영어: Euler characteristic)란 위상공간 또는 그래프의 위상수학적 불변량의 하나인 정수다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없는 값이다. 오일러-푸앵카레 지표(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부른다. 기호는 그리스 문자 $\chi$이다.

오일러 지표는 원래 다면체에서 정의되었고, 정다면체의 분류를 포함한 다양한 다면체의 정리에 관련하여 이용되었다. 이 개념을 이름 붙인 레온하르트 오일러는 이 개념의 초창기 업적에 공헌이 있고, 현대 수학에서는 호몰로지를 비롯한 다양한 개념과 연결되어 있다.

다면체

이 부분의 본문은 오일러의 다면체 정리입니다.

v를 꼭지점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 $\chi$는 다음과 같다.

$\chi = v - e + f$

오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 구와 위상동형이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.

이름	그림	꼭지점 v	모서리 e	면 f	오일러 지표: v - e + f
정사면체		4	6	4	2
정육면체		8	12	6	2
정팔면체		6	12	8	2
정십이면체		20	30	12	2
정이십면체		12	30	20	2

예

일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.

이름	그림	오일러 지표
폐구간		1
원		0
원판(disk)		1
구		2
토러스(Torus) (두 원의 곱집합)		0
이중 토러스		-2
삼중 토러스		-4
실사영평면(Real projective plane)		1
뫼비우스 띠		0
클라인 병		0
연결되지 않은 두 개의 구 (교점이 없는 두 구의 합집합)		2 + 2 = 4