오일러 지표

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대수적 위상수학조합론에서, 오일러 지표(Euler指標, 영어: Euler characteristic)란 위상공간 또는 그래프위상수학적 불변량의 하나인 정수다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없는 값이다. 오일러-푸앵카레 지표(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부른다. 기호는 그리스 문자 \chi이다.

오일러 지표는 원래 다면체에서 정의되었고, 정다면체의 분류를 포함한 다양한 다면체의 정리에 관련하여 이용되었다. 이 개념을 이름 붙인 레온하르트 오일러는 이 개념의 초창기 업적에 공헌이 있고, 현대 수학에서는 호몰로지를 비롯한 다양한 개념과 연결되어 있다.

다면체[편집]

v를 꼭지점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 \chi는 다음과 같다.

\chi = v - e + f

오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 위상동형이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.

이름 그림 꼭지점
v
모서리
e

f
오일러 지표:
v - e + f
정사면체 Tetrahedron.png 4 6 4 2
정육면체 Hexahedron.png 8 12 6 2
정팔면체 Octahedron.png 6 12 8 2
정십이면체 Dodecahedron.png 20 30 12 2
정이십면체 Icosahedron.png 12 30 20 2

[편집]

일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.

이름 그림 오일러 지표
폐구간 Complete graph K2.svg 1
Cirklo.svg 0
원판(disk) Disc Plain grey.svg 1
Sphere-wireframe.png 2
토러스(Torus)
(두 원의 곱집합)
Torus illustration.png 0
이중 토러스 Double torus illustration.png -2
삼중 토러스 Triple torus illustration.png -4
실사영평면(Real projective plane) Steiners Roman.png 1
뫼비우스 띠 MobiusStrip-01.png 0
클라인 병 KleinBottle-01.png 0
연결되지 않은 두 개의 구
(교점이 없는 두 구의 합집합)
Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4