오일러 지표

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대수적 위상수학조합론에서, 오일러 지표(Euler指標, 영어: Euler characteristic)란 위상공간 또는 그래프위상수학적 불변량의 하나인 정수다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없는 값이다. 오일러-푸앵카레 지표(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부른다. 기호는 그리스 문자 \chi이다.

정의[편집]

사슬 복합체 (C_\bullet,\partial_\bullet)호몰로지 H_\bullet(C)가 모두 유한 계수를 갖는다고 하고, 또한 H_\bullet이 어떤 최저·최고 차수 밖에서는 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 사슬 복합체 (C_\bullet,\partial_\bullet)오일러 지표 \chi(C_\bullet)\in\mathbb Z는 다음과 같은 정수이다.

\chi(C_\bullet)=\sum_i(-1)^i\operatorname{rank}H_i(C)\in\mathbb Z

위상공간 X오일러 지표 \chi(X)는 그 특이 사슬 복합체의 오일러 지표이다. 세포 복합체 X오일러 지표세포 사슬 복합체의 오일러 지표이다. 특히, 그래프다면체는 자연스럽게 세포 복합체를 이루므로, 오일러 지표를 조합론적으로 계산할 수 있다.

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다면체[편집]

v를 꼭짓점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 \chi는 다음과 같다.

\chi = v - e + f

오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 위상동형이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.

이름 그림 꼭짓점
v
모서리
e

f
오일러 지표:
v - e + f
정사면체 Tetrahedron.png 4 6 4 2
정육면체 Hexahedron.png 8 12 6 2
정팔면체 Octahedron.png 6 12 8 2
정십이면체 Dodecahedron.png 20 30 12 2
정이십면체 Icosahedron.png 12 30 20 2

곡면[편집]

일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.

이름 그림 오일러 지표
폐구간 Complete graph K2.svg 1
Cirklo.svg 0
원판(disk) Disc Plain grey.svg 1
Sphere-wireframe.png 2
토러스(Torus)
(두 원의 곱집합)
Torus illustration.png 0
이중 토러스 Double torus illustration.png -2
삼중 토러스 Triple torus illustration.png -4
실사영평면(Real projective plane) Steiners Roman.png 1
뫼비우스 띠 MobiusStrip-01.png 0
클라인 병 KleinBottle-01.png 0
연결되지 않은 두 개의 구
(교점이 없는 두 구의 합집합)
Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4

역사[편집]

레온하르트 오일러가 다면체에 대하여 정의하였다. 이후 이 개념은 대수적 위상수학을 통해 일반적인 위상공간호몰로지에 대하여 일반화되었다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]