오일러 표수
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대수적 위상수학(algebraic topology) 혹은 다면체 조합론(Polyhedral combinatorics)에서 오일러 표수(Euler characteristic)란 위상기하학적 불변량으로서, 위상공간 속의 도형이나 구조가 구부러지는 것에 관계가 없는 값이다. 오일러-푸앵카레 표수(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부르며, 보통 그리스 문자 χ로 표기한다.
오일러 표수는 원래 다면체에서 정의되었고, 정다면체의 분류를 포함한 다양한 다면체의 정리에 관련하여 이용되었다. 이 개념을 이름 붙인 레온하르트 오일러는 이 개념의 초창기 업적에 공헌이 있고, 현대 수학에서는 호몰로지를 비롯한 다양한 개념과 연결되어 있다.
[편집] 다면체
v를 꼭지점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 표수 χ는 다음과 같다.
- χ = v − e + f
만약 구와 연결상태가 같을 경우(homeomorphic) 오일러 표수의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2가 된다.
| 이름 | 그림 | 꼭지점 v |
모서리 e |
면 f |
오일러표수: v - e + f |
|---|---|---|---|---|---|
| 정사면체 |  |
4 | 6 | 4 | 2 |
| 정육면체 |  |
8 | 12 | 6 | 2 |
| 정팔면체 |  |
6 | 12 | 8 | 2 |
| 정십이면체 |  |
20 | 30 | 12 | 2 |
| 정이십면체 |  |
12 | 30 | 20 | 2 |
[편집] 예
일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 표수를 계산할 수 있다.
| 이름 | 그림 | 오일러 표수 |
|---|---|---|
| 폐구간 |  |
1 |
| 원 |  |
0 |
| 원판(disk) |  |
1 |
| 구 |  |
2 |
| 토러스(Torus) (두 원의 곱집합) |
 |
0 |
| 이중 토러스 |  |
-2 |
| 삼중 토러스 |  |
-4 |
| 실사영평면(Real projective plane) |  |
1 |
| 뫼비우스 띠 |  |
0 |
| 클라인 병 |  |
0 |
| 연결되지 않은 두 개의 구 (교점이 없는 두 구의 합집합) |
|
2 + 2 = 4 |
