토드 류

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대수적 위상수학에서, 토드 류(영어: Todd class)는 히르체브루흐-리만-로흐 정리아티야-싱어 지표 정리에 등장하는 특성류이다.

정의[편집]

E\to X위상공간 X 위의 복소 벡터다발이라고 하고, \dim_{\mathbb C}E=n이라고 하자. 토드 류 \operatorname{Td}(E)\in H^\bullet(X;\mathbb Q)E특성류의 하나로, 유리수 계수의 코호몰로지류이다. 분할원리(영어: splitting principle)에 의하여, 복소 벡터다발의 특성류는 n개의 변수 x_1,\dots,x_n에 대한 다항식으로 정의된다. 토드 류의 경우, 이 다항식은 다음과 같다.

\operatorname{Td}(E)=\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}=\prod_{i=1}^n\left(1+x_i/2+x_i^2/12-x_i^4/720+\dotsb\right)

천 류 c_i는 이와 같이 다항식으로 정의하면 다음과 같다.

c=c_1+c_2+c_3+\dotsb=\prod_{i=1}^n(1+x_i)

이를 사용하여 쓰면, 토드 류는 다음과 같다.

\operatorname{Td}(E)=1+c_1/2+(c_1^2+c_2)/12+c_1c_2/24+(-c_1^4+4c_1^2c_2+c_1c_3+3c_2^2-c_4)/720+\dotsb

성질[편집]

벡터다발의 직합의 토드 류는 각 성분의 토드 류의 컵곱이다.

\operatorname{Td}(E\oplus F)=\operatorname{Td}(E)\smile\operatorname{Td}(F)

역사[편집]

영국의 수학자인 존 아서 토드(영어: John Arthur Todd)가 1937년 도입하였다.[1] 이는 최초로 발견된 특성류의 하나이며, 천싱선천 류를 1946년 도입하기 오래 전에 발견되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Todd, J. A. (1937년). The arithmetical theory of algebraic loci. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 43 (1): 190–225. doi:10.1112/plms/s2-43.2.127.