힐베르트 공간

함수해석학에서 힐베르트 공간(Hilbert空間, 영어: Hilbert space)은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의

$K$ 가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 라고 하자. $K$ -힐베르트 공간 $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ 은 완비 거리 공간을 이루는 $K$ -내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, $K$ -힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, 영어: parallelogram identity)을 만족시키는 $K$ -바나흐 공간 $({\mathcal {H}},\|\cdot \|)$ 으로 정의할 수 있다.

\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})\qquad \forall u,v\in {\mathcal {H}}

이 경우, 내적 구조는

\langle u,v\rangle ={\begin{cases}{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)&K=\mathbb {R} \\{\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)&K=\mathbb {C} \\\end{cases}}

가 된다.

분류

힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 의 정규 직교 기저 $B\subset {\mathcal {H}}$ 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.

모든 $e,e'\in B$ 에 대하여,
$\langle e,e'\rangle ={\begin{cases}0&e\neq e'\\1&e=e'\end{cases}}$
다음 집합은 ${\mathcal {H}}$ 속의 조밀 집합이다.
$\operatorname {Span} B=\left\{a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}|n\in \mathbb {N} ,\;e_{1},\dots ,e_{n}\in B,\;a_{1},\dots ,a_{n}\in K\right\}\subset {\mathcal {H}}$

초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 $\dim {\mathcal {H}}$ 이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 $\operatorname {Span} B={\mathcal {H}}$ 를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 $\operatorname {Span} B$ 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 $K$ -힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ , ${\mathcal {H}}'$ 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:1.4.19–1.4.21}

$\dim {\mathcal {H}}=\dim {\mathcal {H}}'$
${\mathcal {H}}$ 와 ${\mathcal {H}}'$ 사이에 유니터리 변환 $U\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}'$ 이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.

따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, $K$ -힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^:1.4.23

${\mathcal {H}}$ 는 분해 가능 공간이다.
$\dim {\mathcal {H}}\leq \aleph _{0}$ 이다.

즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 $\aleph _{0}$ 이다.

성질

리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 는 스스로의 연속 쌍대 공간 ${\mathcal {H}}^{*}$ 와 동형이며, 만약 $K=\mathbb {R}$ 일 경우 이는 표준적(영어: canonical) 동형이다.

예

$K$ 가 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 라고 하고, $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ 가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L² 공간 $L^{2}(X,K)$ 는 $K$ -힐베르트 공간을 이룬다.^[1]^:1.4.9

만약 $X$ 가 셈측도가 부여된 집합이라면

\dim L^{2}(X,K)=|X|

이며, 함수

f_{x}\colon X\to K\qquad (x\in X)

f_{x}(y)={\begin{cases}1&x=y\\0&x\neq y\end{cases}}

는 $L^{2}(X,K)$ 의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 ${\mathcal {F}}$ 가 분해가능 시그마 대수( $d(A,B)=\mu (A\setminus B\cup B\setminus A)$ 로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 $X$ 가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, $L^{2}(X,K)$ 는 분해 가능 공간이다.^[1]^:1.3.9

응용

힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

역사

1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 $L 2$ 가 완비 거리 공간임을 증명하였다.^[2] 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.^[3] 1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 $(f,g):=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx$ 이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 $L^{2}$ 공간이 된다.^[4] 다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ 을 정의하였다.^[5] 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만^[6] 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Tao, Terrence. 《Epsilon of Room, I: Real Analysis: pages from year three of a mathematical blog》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1.
↑ Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9
↑ In Dunford & Schwartz (1958, §IV.16), the result that every linear functional on L2[0,1] is represented by integration is jointly attributed to Fréchet (1907) and Riesz (1907). The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in Riesz (1934).
↑ Schmidt, Erhard (1908), "Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten", Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116
↑ Hilbert, David (1912). 《Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen》. Fortschr. d. math. Wissensch. in Monographien hrsgb. von O. Blumenthal (독일어) 3. B. G. Teubner. JFM 43.0423.01.
↑ von Neumann, J. (1929). “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 102: 49–131. doi:10.1007/BF01782338. ISSN 0025-5831. JFM 55.0824.02.

참고 문헌

Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004.
Reed, Michael C.; Barry Simon (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.
Halmos, Paul (1982). 《A Hilbert space problem book》 (영어). Springer. ISBN 0-387-90685-1.
Young, Nicholas (1988). 《An introduction to Hilbert space》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-33071-8. Zbl 0645.46024.

외부 링크

“Hilbert space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Hilbert space”. 《nLab》 (영어).
“Separable Hilbert space”. 《nLab》 (영어).

[Tao-1] 가 ^나 ^다 ^라 Tao, Terrence. 《Epsilon of Room, I: Real Analysis: pages from year three of a mathematical blog》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 117. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5278-1.

[2] Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9

[3] In Dunford & Schwartz (1958, §IV.16), the result that every linear functional on L2[0,1] is represented by integration is jointly attributed to Fréchet (1907) and Riesz (1907). The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in Riesz (1934).

[4] Schmidt, Erhard (1908), "Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten", Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63–77, doi:10.1007/BF03029116

[5] Hilbert, David (1912). 《Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen》. Fortschr. d. math. Wissensch. in Monographien hrsgb. von O. Blumenthal (독일어) 3. B. G. Teubner. JFM 43.0423.01.

[6] von Neumann, J. (1929). “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 102: 49–131. doi:10.1007/BF01782338. ISSN 0025-5831. JFM 55.0824.02.

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