유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화. 3차원 유클리드 공간에 매장된 구 의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다. 미분기하학 에서, 매끄러운 다양체 의 접다발 (接-, 영어 : tangent bundle )은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합 들로 구성된 벡터 다발 이다.
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체 라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계
(
U
i
,
ϕ
i
:
U
i
→
R
n
)
i
∈
I
{\displaystyle (U_{i},\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n})_{i\in I}}
가 주어졌다고 하자 (
(
U
i
)
∈
I
{\displaystyle (U_{i})_{\in I}}
M
{\displaystyle M}
열린 덮개 ).
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
접다발 은 다음과 같은 위상 공간 이다.
T
M
=
⨆
i
∈
I
U
i
×
R
n
∼
{\displaystyle \mathrm {T} M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim }}}
여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계
∼
{\displaystyle \sim }
(
x
,
u
)
∼
(
x
,
v
)
⟺
∀
μ
∈
{
1
,
…
,
n
}
:
u
μ
=
∑
ν
=
1
n
v
ν
∂
ϕ
i
(
x
)
μ
∂
ϕ
j
(
x
)
ν
∀
i
,
j
∈
I
,
x
∈
U
i
∩
U
j
,
u
,
v
∈
R
n
{\displaystyle (x,u)\sim (x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u^{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v^{\nu }{\frac {\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}{\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}}
여기서
ϕ
i
(
x
)
μ
{\displaystyle \phi _{i}(x)^{\mu }}
ϕ
i
(
x
)
∈
R
n
{\displaystyle \phi _{i}(x)\in \mathbb {R} ^{n}}
μ
{\displaystyle \mu }
그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상
π
:
T
M
↠
M
{\displaystyle \pi \colon \mathrm {T} M\twoheadrightarrow M}
π
:
[
(
x
,
v
)
]
↦
x
{\displaystyle \pi \colon [(x,v)]\mapsto x}
을 통해
M
{\displaystyle M}
매끄러운 벡터 다발 을 이룬다.
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
접공간 (接空間, 영어 : tangent space )
T
x
M
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}
올 이다. 만약
M
{\displaystyle M}
유클리드 공간 으로의 (매끄러운) 몰입 이 주어졌다면, 이는
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
쌍대 벡터 다발
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}
공변접다발 (共變接- 영어 : cotangent bundle ) 또는 여접다발 (餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로
T
∗
M
=
⨆
i
∈
I
U
i
×
R
n
∼
′
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M={\frac {\bigsqcup _{i\in I}U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}{\sim '}}}
(
x
,
u
)
∼
′
(
x
,
v
)
⟺
∀
μ
∈
{
1
,
…
,
n
}
:
u
μ
=
∑
ν
=
1
n
v
ν
∂
ϕ
j
(
x
)
ν
∂
ϕ
i
(
x
)
μ
∀
i
,
j
∈
I
,
x
∈
U
i
∩
U
j
,
u
,
v
∈
R
n
{\displaystyle (x,u)\sim '(x,v)\iff \forall \mu \in \{1,\ldots ,n\}\colon u_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}v_{\nu }{\frac {\partial \phi _{j}(x)^{\nu }}{\partial \phi _{i}(x)^{\mu }}}\qquad \forall i,j\in I,\;x\in U_{i}\cap U_{j},\;u,v\in \mathbb {R} ^{n}}
와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로,
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
공변접공간 (共變接空間, 영어 : cotangent space )
T
x
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M}
올 이다.
M
{\displaystyle M}
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
매끄러운 단면 을 벡터장
M
{\displaystyle M}
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}
매끄러운 단면 을 1차 미분 형식
M
{\displaystyle M}
텐서곱
T
M
⊗
⋯
T
M
⏞
p
⊗
T
∗
M
⊗
⋯
⊗
T
∗
M
⏞
q
{\displaystyle \overbrace {\mathrm {T} M\otimes \cdots \mathrm {T} M} ^{p}\otimes \overbrace {\mathrm {T} ^{*}M\otimes \cdots \otimes \mathrm {T} ^{*}M} ^{q}}
의 매끄러운 단면 을
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
만약 어떤 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
평행화 가능 다양체 (영어 : parallelizable manifold )라고 한다. 초구
S
n
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}
S
0
{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}
S
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
S
7
{\displaystyle \mathbb {S} ^{7}}
모든 3차원 가향 다양체 는 평행화 가능 다양체이다.
준 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
동형 사상
(
−
)
♭
:
T
x
M
→
T
x
∗
M
{\displaystyle (-)^{\flat }\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}^{*}M}
(
−
)
♭
:
v
↦
g
(
v
,
−
)
{\displaystyle (-)^{\flat }\colon v\mapsto g(v,-)}
(
−
)
♯
:
T
x
∗
M
→
T
x
M
{\displaystyle (-)^{\sharp }\colon \mathrm {T} _{x}^{*}M\to \mathrm {T} _{x}M}
(
−
)
♯
:
g
(
v
,
−
)
↦
v
{\displaystyle (-)^{\sharp }\colon g(v,-)\mapsto v}
이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상 을 정의한다. 이를 음악 동형 (音樂同形, 영어 : musical isomorphism )이라고 한다.
여기서 "음악"이라는 어원은 악보 의 올림표 (♯)와 내림표 (♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자(
μ
{\displaystyle ^{\mu }}
μ
{\displaystyle _{\mu }}
(
−
)
♭
{\displaystyle (-)^{\flat }}
(
−
)
♯
{\displaystyle (-)^{\sharp }}
![{\displaystyle \pi \colon [(x,v)]\mapsto x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d75f2aff106d21824d05ce947a9c43adc5a3a45)
