아인슈타인 다양체
미분기하학에서 아인슈타인 다양체(Einstein多樣體, 영어: Einstein manifold)는 리치 곡률 텐서가 계량 텐서와 비례하는 준 리만 다양체다.[1][2][3]
정의
[편집]준 리만 다양체 가 주어졌을 때, 그 리치 곡률 을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)차 텐서장이다. 만약 다음 조건을 만족시키는 상수 가 존재한다면, 를 아인슈타인 다양체라고 한다.
여기서 물론 이다. 즉, 만약 리치 곡률 텐서에서 대각합 성분을 제거한 텐서
를 정의한다면, 다양체가 아인슈타인 다양체일 필요 충분 조건은 무대각합 리치 곡률 텐서가 0인 것이다.
켈러 다양체나 사사키 다양체가 위 조건을 만족시키는 경우, 켈러-아인슈타인 다양체 또는 사사키-아인슈타인 다양체라고 부른다.
성질
[편집]매끄러움
[편집]임의의 리만 다양체 에서, 국소적으로 조화 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 함수 에 대하여
이다. (여기서 는 라플라스-벨트라미 연산자이다.) 이 좌표계에서 진공 아인슈타인 방정식은
의 꼴이며, 는 와 에 대한 2차 형식이다. 리만 계량이 양의 정부호라면, 이는 타원형 편미분 방정식이므로, 그 해는 매끄러운 함수이다.[2]:§2
호몰로지
[편집]임의의 콤팩트 아인슈타인 리만 다양체에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다.
응용
[편집]일반 상대성 이론에서, 시공간의 차원이 3 이상일 때, 우주 상수 를 가진 진공 해는 아인슈타인 다양체에 해당한다. 물질의 에너지-운동량 텐서가 0인 경우, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.
따라서
임을 알 수 있다. 여기서 (시공간의 차원)이다. 즉, 인 경우, 일반 상대성 이론에서의 진공은 인 준 리만 아인슈타인 다양체를 이룬다.
예
[편집]모든 1차원 준 리만 다양체는 (리치 곡률 텐서가 0이므로) 아인슈타인 다양체이다. 모든 2차원 준 리만 다양체는 아인슈타인 다양체이다. 이 경우, 는 가우스 곡률이다.
초구와 평면, 쌍곡공간 모두 아인슈타인 다양체다. 마찬가지로, 로런츠 계량 부호수에서는 더 시터르 공간과 민코프스키 공간, 반 더 시터르 공간 모두 아인슈타인 다양체다.
푸비니-슈투디 계량을 갖춘 복소수 사영 공간은 아인슈타인 다양체다. 모든 사원수 켈러 다양체는 아인슈타인 다양체다. 또한, 칼라비-야우 다양체나 초켈러 다양체는 (리치 곡률이 0이므로) 인 아인슈타인 다양체다.
반례
[편집]다음과 같은 다양체 위에는 임의의 양의 정부호 리만 계량을 주더라도 아인슈타인 다양체로 만들 수 없다.
각주
[편집]- ↑ Besse, Arthur L. (1987). 《Einstein Manifolds》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer. doi:10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 978-3-540-74120-6. ISSN 1431-0821.
- ↑ 가 나 Anderson, T. “A survey of Einstein metrics on 4-manifolds” (영어). arXiv:0810.4830.
- ↑ 가 나 Sambusetti, Andrea. “Einstein manifolds and obstructions to the existence of Einstein metrics” (PDF) (영어). 2019년 11월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 11월 17일에 확인함.
- ↑ 가 나 다 라 Hitchin, Nigel (1974). “Compact four-dimensional Einstein manifolds”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 9 (3): 435–441. doi:10.4310/jdg/1214432419.
외부 링크
[편집]- “Einstein manifold”. 《nLab》 (영어).