사사키 다양체

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미분기하학에서, 사사키 다양체([佐々木] 多樣體, 영어: Sasakian manifold)는 그 위에 정의된 뿔이 켈러 구조를 갖춘 접촉 다양체이다.

정의[편집]

리만 다양체라고 하자. 그렇다면 리만 뿔(영어: Riemannian cone) 은 위상수학적으로 이고, 다음과 같은 계량 텐서

를 갖춘 리만 다양체다.

접촉 구조 를 갖춘 리만 다양체라고 하자. 의 리만 뿔에는 다음과 같은 (국소적) 2차 미분형식이 존재한다.

만약 이 미분형식이 모든 곳에 정의되고 켈러 구조를 이룬다면 사사키 다양체라고 한다.

관련 개념[편집]

사사키-아인슈타인 다양체(영어: Sasaki–Einstein manifold)는 그 리만 뿔이 칼라비-야우 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.[1]:671,676

3-사사키 다양체(영어: 3-Sasakian manifold)는 그 리만 뿔이 초켈러 다양체를 이루는 사사키 다양체이다.[2] 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이며, 스핀 구조를 갖춘다.

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코니폴드는 (실수) 6차원 칼라비-야우 다양체인데, 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체 T1,1의 리만 뿔로 나타낼 수 있다. T1,1은 위상수학적으로 S2×S3이고, SU(2)×SU(2)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

2004년에는 Yp,q라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.[3][1]:676 여기서 pq서로소 양의 정수이다. 이들은 위상수학적으로 S2×S3이고, SU(2)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

2005년에는 Lp,q,r1,…,rn−1이라는 (2n+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.[1]:676[4][5] 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 S2×S3이고, U(1)×U(1)×U(1) 등거리변환군을 가진다.

역사[편집]

1960년에 사사키 시게오(일본어: 佐々木 重夫)가 정의하였다.[6][7][8]

참고 문헌[편집]

  1. Becker, Katrin; Melanie Becker, John H. Schwarz (2006년 12월). String Theory and M-Theory: A Modern Introduction[[분류:영어 표기를 포함한 문서|사사키 다양체]]》 (영어). Cambridge University Press. Bibcode:2007stmt.book.....B. ISBN 978-0511254864. doi:10.2277/0511254865.  URL과 위키 링크가 충돌함 (도움말)
  2. Boyer, Charles P.; Krzysztof Galicki (1999). “3-Sasakian Manifolds”. 《Surveys in Differential Geometry》 (영어) 7: 123-184. Bibcode:1998hep.th...10250B. arXiv:hep-th/9810250. 
  3. Gauntlett, Jerome P.; Dario Martelli, James Sparks, Daniel Waldram. “Sasaki-Einstein metrics on S2×S3” (영어). Bibcode:2004hep.th....3002G. arXiv:hep-th/0403002. 
  4. Cvetič, Mirjam; Hong Lü, Don N. Page, C.N. Pope (2005). “New Einstein–Sasaki spaces in five and higher dimensions” (영어). Bibcode:2005PhRvL..95g1101C. arXiv:hep-th/0504225. doi:10.1103/PhysRevLett.95.071101. 
  5. Cvetič, Mirjam; Hong Lü, Don N. Page, C.N. Pope (2009년 7월). “New Einstein-Sasaki and Einstein Spaces from Kerr–de Sitter”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2009 (7): 82. Bibcode:2009JHEP...07..082C. ISSN 1029-8479. arXiv:hep-th/0505223. doi:10.1088/1126-6708/2009/07/082. 
  6. Sasaki, Shigeo (1960). “On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I”. 《Tôhoku Mathematical Journal》 12: 459–476. ISSN 0040-8735. MR 0123263. doi:10.2748/tmj/1178244407. 
  7. Sasaki, Shigeo (1961). “On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II”. 《Tôhoku Mathematical Journal》 13: 281–294. ISSN 0040-8735. MR 0138065. doi:10.2748/tmj/1178244304. 
  8. O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson. “Shigeo Sasaki”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교. 

외부 링크[편집]