범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.
두 범주
,
사이의 두 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654caa7ec18ce4511ffb41a6a5a6fb5b194a98ea)
![{\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdae05c32943a0367c422c136b1945f74570e407)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
와
사이의 수반(영어: adjunction)
는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.
![{\displaystyle \epsilon \colon FG\Rightarrow \operatorname {id} _{\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51de52e5f33db83277fe6e4255d38f8ecfe60bd4)
![{\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {C}}\Rightarrow GF}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e859e96dc7ab1b142d7d541ed34e130762d5758b)
여기서
및
는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.
![{\displaystyle \operatorname {id} _{F}=\epsilon F\circ F\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a0d5e09448308d7722cbf0eb954a5988930676)
![{\displaystyle \operatorname {id} _{G}=G\epsilon \circ \eta G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d2371716b8aea2bbb0120d41290f9ecf587d1b)
여기서
및
는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}F&{\xrightarrow {F\eta }}&FGF\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{F}}\searrow &\downarrow \scriptstyle \epsilon F\\&&F\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}G&{\xrightarrow {\eta G}}&GFG\\&{\scriptstyle \operatorname {id} _{G}}\searrow &\downarrow \scriptstyle G\epsilon \\&&G\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6391e600f56db52576d62bef0b3fd52247a39d)
이 경우,
를
의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: left-adjoint functor)라고 하고,
를
의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: right-adjoint functor)라고 하며,
은 쌍대단위원(雙對單位元, 영어: counit),
는 단위원(單位元, 영어: unit)이라고 한다. 이는 기호로
![{\displaystyle F\dashv G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721042515894e125efb15c7811026d9941bb55f2)
또는
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d009de4c4818da5ccbdcb9a79c395c4580668f1)
와 같이 쓴다.
사상 집합을 통한 정의[편집]
와
가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d009de4c4818da5ccbdcb9a79c395c4580668f1)
는 다음과 같이 정의할 수 있다.
와
사이의 수반은 함자
![{\displaystyle \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15da1572c0bf94537eae0755e866988094b13eea)
![{\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))\colon {\mathcal {\mathcal {C}}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {D}}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087fdeb08814bd406dc61a8ba40fce7a2d611ff1)
사이의 자연 동형
![{\displaystyle \Phi \colon \hom _{\mathcal {D}}(F(-),-)\Rightarrow \hom _{\mathcal {C}}(-,G(-))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dc7e37674f73b9d4a82c6ed7e81bd8feb231cb)
이다.
프레이드 수반 함자 정리[편집]
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
는
는 범주이다.
프레이드 수반 함자 정리(영어: Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:121, Theorem V.6.2
는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.
여기서 해집합 조건(解集合條件, 영어: solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합
및 사상들의 집합
이 존재한다.
- 임의의
및 사상
에 대하여,
를 만족시키는
및
가 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\overset {g}{\to }}&G({\tilde {Y}})\\{\scriptstyle f_{i}}\downarrow &&\|\\G({\tilde {X}}_{i})&{\underset {G({\tilde {g}})}{\to }}&G({\tilde {Y}})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458f456125117d23d3012c7f7fadbccb2462c8e2)
만약 실제로 어떤 수반 함자쌍
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}\colon G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d009de4c4818da5ccbdcb9a79c395c4580668f1)
이 존재한다면, 대상
에 대하여
![{\displaystyle I=\{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef398a86519ecd080d33b010be146952b94d070)
![{\displaystyle {\tilde {X}}_{0}=F(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57725591055253c246ffda693fe559fd3fc845fc)
![{\displaystyle f\colon X\to G(F(X))=G({\tilde {X}}_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac05e4a719a63f59b816bad9f0e66e6e94169a2)
로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.
특수 수반 함자 정리[편집]
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
는
는 국소적으로 작은 범주이다.
특수 수반 함자 정리(영어: special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:129, Theorem V.8.2
는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.
자유-망각 수반[편집]
대수 구조 다양체의 범주
에서, 자유 대수 함자
![{\displaystyle \langle -\rangle \colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f452ecf83a13fba313c270893d49dc5fbd6b77)
는 망각 함자
![{\displaystyle |-|\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588d9e0b964eddb02a0d97a89c3b61fd87f8a554)
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.
![{\displaystyle \langle -\rangle \dashv |-|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985ce2b6d6f38b87396625ec6d58aa664088b3d4)
곱-지수 수반[편집]
데카르트 닫힌 범주
의 임의의 대상
에 대하여, 곱 함자
![{\displaystyle -\times X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0522d06418ce1333c6475f7233f05b39143511cc)
![{\displaystyle -\times X\colon Y\mapsto Y\times X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce244953765145b39aed72926dd4c22b5787958f)
는 지수 대상 함자
![{\displaystyle (-)^{X}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d9f4d4178407e24ac92dcef97f32ab6288d77c)
![{\displaystyle (-)^{X}\colon Y\mapsto Y^{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb4b7945dd2c5c37bf3adc17b5abbe4777dd465)
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.
![{\displaystyle -\times X\dashv (-)^{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324a1bb47bd3c0f6affe7a52fe20f520a7fced69)
집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.
다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱
이다.)
대각-극한 수반[편집]
범주
및 범주
가 주어졌고, 모든 함자
의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자
![{\displaystyle \varprojlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731cf130a71faa6eeebf831f1492c07a9ef433ad)
는 왼쪽 수반 함자
![{\displaystyle \Delta \dashv \varprojlim }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d80057ab896a847db01e8d5f8243c886b08d498)
를 가진다. 이는
의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.
![{\displaystyle \Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd06c1791a83beca9dd670f3a8f0235b437ed578)
![{\displaystyle \Delta \colon X\mapsto (J\mapsto X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c18e4ce78c09915076496aed5e7e16a2df1286)
예를 들어,
가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle (-)^{2}\colon {\mathcal {C}}^{2}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc654daf01323f7c4e464b93056dc03e027c14ac)
![{\displaystyle (-)^{2}\colon X\mapsto X\times X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438dc1d066343b79d1f9a07d9a384d8ae95d37d0)
![{\displaystyle \Delta \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fabbd4234d975cbd879cefb97f9507fdbbab17)
![{\displaystyle \Delta \colon X\mapsto (X,X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f778da4b6fa5bb77d24b6a366a4482ce495e0c81)
는 서로 수반 함자를 이룬다.
![{\displaystyle \Delta \dashv (-)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa46ba0715e042eb317d6705d5f3b4f744480f5)
마찬가지로, 범주
및 범주
가 주어졌고, 모든 함자
의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자
![{\displaystyle \varinjlim \colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b189c6fe620353f31f0fd490a5307b37df94f405)
는 오른쪽 수반 함자
![{\displaystyle \varinjlim \dashv \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ae616d63b53d8be6deec7d24d7b6577afa0fef)
를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면
![{\displaystyle \varinjlim \dashv \Delta \dashv \varprojlim }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec07381c0d75b8fbbf29231b7ccb54f1ea2df290)
가 된다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]