군 대상

범주론에서 군 대상(群對象, 영어: group object)은 곱을 갖는 범주에서 정의되는, 군의 역할을 하는 대상이다. 모노이드 대상의 특수한 경우이다.

정의

${\mathcal {C}}$가 끝 대상 및 유한 곱을 갖는 범주라고 하자. (임의의 모노이드 범주에서 정의되는 모노이드 대상과 달리, 군 대상은 데카르트 모노이드 범주에서만 정의된다. 이는 일반적 모노이드 범주에서 대각 사상 $X\to X\otimes X$이나 쌍대항등원 $X\to I$이 주어지지 않기 때문이다.) ${\mathcal {C}}$의 군 대상 $(G,m,e,i)$는 다음 데이터로 이루어진다.

• $(G,m,e)$는 데카르트 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\times )$의 모노이드 대상이다.
• $i\colon G\to G$는 ${\mathcal {C}}$ 속의 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

• (역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상 $\epsilon _{G}\colon G\to 1$이 존재한다. 또한, $\operatorname {diag} _{G}\colon G\to G\times G$가 대각 사상이라고 하자. 그렇다면 $m\circ (\operatorname {id} _{G}\times i)\circ \operatorname {diag} _{G}=m\circ (i\times \operatorname {id} _{G})\circ \operatorname {diag} _{G}=e\circ \epsilon _{G}$이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}G&{\xrightarrow {\operatorname {diag} }}&G\times G&{\xrightarrow {\operatorname {id} \times i}}&G\times G&{\xleftarrow {i\times \operatorname {id} }}&G\times G&{\xleftarrow {\operatorname {diag} }}&G\\&\searrow &&&\downarrow \scriptstyle m&&&\swarrow \\&&1&{\xrightarrow[{e}]{}}&G&{\xleftarrow[{e}]{}}&1\end{matrix}}$

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. 군 대상 $G\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$는 임의의 대상 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여 $\hom(X,G)$가 군을 이뤄, $X\mapsto \hom(X,G)$가 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Grp} ^{\operatorname {op} }$ 함자를 이루는 대상이다. 여기서 $\operatorname {Grp}$은 군과 군 준동형의 범주이다.

예

대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

범주	군 대상	비고
집합과 함수의 범주	군
위상 공간과 연속 함수의 범주	위상군
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주	리 군
대수다양체와 대수다양체 사상의 범주	대수군
스킴과 스킴 사상의 범주	군 스킴(group scheme)
군과 군 준동형의 범주	아벨 군	역원 사상 $g\mapsto g^{-1}$이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문
모노이드와 모노이드 준동형의 범주	아벨 군
아벨 군과 군 준동형의 범주	아벨 군
작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$	교차 가군(영어: crossed module):285–287	군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Grp}$ 속의 내적 범주와 같다.:269

각주

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 211 3판. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. 

외부 링크

• “Group object”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 내적 범주