WKB 근사

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양자역학에서, WKB 근사(WKB近似, 영어: WKB approximation)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다.

1차원 퍼텐셜 속의 입자[편집]

1차원 공간에서 에너지 를 가지고 퍼텐셜 에 영향을 받는 입자의 파동 함수 는 다음과 같은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

.

이제 파동 함수 를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자.

.

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다.

.

이 연립 미분 방정식을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(semiclassical approximation)을 취한다. 우선, 파동 함수 성분디랙 상수 에 대한 테일러 급수로 전개한다. (위 식에 따라 이므로 그 첫 항은 이 아니라 이 된다.)

.

디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자.

.

두 번째 방정식에 따라 또는 이다. 첫 번째 방정식에 따라 이면 , 으로, 이면 , 으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 터널링이 일어나는 경우를 나타낸다.

그 다음 차수의 항은 다음과 같다.

.

첫 번째 식에 의해, 이면 이다. 두 번째 식에 의해, 이어도 이다.

고전적인 경우[편집]

이 경우는 총 에너지 가 위치 에너지 보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 이고,

이다. 이는 파동 함수의 진폭()은 별로 변하지 않지만 그 위상()이 많이 변하는 꼴이다.

다음 차수의 항 을 구하면 다음과 같다.

.

따라서 파동 함수 는 대략

으로 근사할 수 있다. 여기서 는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다.

터널 효과[편집]

이 경우는 위치 에너지 가 총 에너지 보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, 터널 효과에 해당한다. 여기에는 이고,

이다. 다음 차수의 항 을 구하면 다음과 같다.

.

따라서 파동 함수 는 대략

으로 근사할 수 있다. 여기서 는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 지수 함수의 모양을 따른다.

연결 공식[편집]

고전적인 경우와 터널 효과인 경우의 해는 가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 연결 공식(connection formula)를 사용하여 두 해의 계수 , 를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다.

고전적인 영역과 터널링 영역이 에서 만난다고 하자. 즉,

이라고 하자. 그렇다면 근처에서 퍼텐셜

와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

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이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다.

.

여기서 는 임의의 상수이다.

일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

(분모에 2가 있는 것에 주의!)
.

이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 연결 공식이라고 한다. 예를 들어, 은 고전적인 영역이고, 은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면

이다. 그 반대로, 이 고전적이고 이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.

일반적 경우[편집]

차원 리만 다양체 위의 입자가 퍼텐셜 속에서 움직인다고 하자. 이 경우, 파동 함수에 대하여 다음과 같은 가설 풀이를 고르자.

여기서, 각 항의 단위는 다음과 같다.

  • 는 작용의 단위를 갖는다.
  • 는 [길이]n/2[작용]−k의 단위를 갖는다.

이를 슈뢰딩거 방정식

에 대입하여 의 각 계수별로 비교하면, 다음과 같은 일련의 편미분 방정식을 얻는다.[1]:§2.2

고전적 영역에서는 는 실수이며, 터널 영역에서는 는 허수가 된다.

처음 두 개의 편미분 방정식은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, 심플렉틱 다양체 의 다음과 같은 라그랑주 부분 다양체를 정의하자.

이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 미분 동형을 이룬다.

그렇다면, 처음 두 개의 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.[1]:§2.2

  • 에 대한 방정식은 해밀턴-야코비 방정식이며, 이는 해밀토니언에 국한하였을 경우 상수 함수임을 뜻한다.
  • 에 대한 방정식 은 수송 방정식(영어: transport equation)이며, 이는 위에 정의된 밀도 가 해밀토니언 벡터장 에 대하여 불변인 것을 뜻한다. (해밀턴-야코비 방정식에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상 의 접벡터이다.) 여기서 밀도리 미분이며, 에 대한 당김이다.

따라서, 처음 두 WKB 방정식은 기하학적 양자화에서, 라그랑주 부분 다양체 및 그 위에 주어진 ½-밀도로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다.

역사[편집]

1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스(영어: Harold Jeffreys)가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다.[2] 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고어 벤첼(독일어: Gregor Wentzel)[3], 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스[4], 프랑스의 레옹 브릴루앵[5] 이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.

참고 문헌[편집]

  1. Bates, Sean; Weinstein, Alan (1997). 《Lectures on the geometry of quantization》 (PDF). Berkeley Mathematical Lecture Notes (영어) 8. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0798-9. 
  2. Jeffreys, Harold (1925). “On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어). s2-23 (1): 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428. 
  3. Wentzel, Gregor (1926). “Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik”. 《Zeitschrift für Physik A》 (독일어) 38 (6–7): 518–529. doi:10.1007/BF01397171. 
  4. Kramers, Hendrik Anthony (1926). “Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung”. 《Zeitschrift für Physik A》 (독일어) 39 (10–11): 828–840. doi:10.1007/BF01451751. 
  5. Brillouin, Léon (1926년 7월 5일). “La mécanique ondulatoire de Schrödinger; une méthode générale de résolution par approximations successives”. 《Comptes Rendus de l’Academie des Sciences》 (프랑스어) 183: 24–26. 
  • Gough, Douglas Owen (2004년 3월). “An elementary introduction to the JWKB approximation”. 《Astronomische Nachrichten》 (영어) 328 (3–4): 273–285. arXiv:astro-ph/0702201. doi:10.1002/asna.200610730. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]