측도론에서 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.
두 가측 공간
,
사이의 가측 함수
는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
- 모든
에 대하여, ![{\displaystyle f^{-1}(S)\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1b20786deeed2e12070e00a47925bc01c5ad8c2)
만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수
"는 보통
을 의미한다.
두 가측 함수
![{\displaystyle f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8d92283507aeb84925b291856a69015f9d4e22)
![{\displaystyle g\colon (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd01223f4ad911273ab13311a5366377d47ee8bf)
가 주어졌을 때, 그 합성 함수
![{\displaystyle g\circ f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c345cad62cf980336638f4710dc0f57ef47226)
역시 가측 함수이다.
보렐 가측 함수[편집]
와
가 보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.
와
사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
- 반대로, 루진의 정리에 따르면,
가 제2 가산 공간이며
에 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수
는
의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.
가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.
- 두 가측 함수
에 대하여,
및
는 가측 함수이다.
- 가측 함수의 열
의 점별 극한은 가측 함수이다.
- 모든 르베그 적분 가능 함수
는 가측 함수이다.
르베그 가측 함수[편집]
임의의 함수
및
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 가측 함수이다.
- 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.
![{\displaystyle \operatorname {mid} \{-g,f,g\}\colon x\mapsto {\begin{cases}g(x)&f(x)\geq g(x)\\f(x)&-g(x)\leq f(x)\leq g(x)\\-g(x)&f(x)\leq -g(x)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78145b13fbaaa86f8982399d456c1d578c02ef74)
바나흐 공간 값 가측 함수[편집]
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 가측 공간
![{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9747bc31b2b0eaac96b8af052f44d1791a34ca9b)
![{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1dfbdbc9f282a890a4539ce701c2029c1e1820)
- (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘)
-바나흐 공간 ![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
그렇다면,
단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수
이다.
![{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{k}y_{i}1_{S_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f30f0b429ab65fa64a2430502605a225490ea4)
![{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}\in Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae690e46b06be4c5b76281496938fb4ee90eb2d)
![{\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15a7534728bf89d365b76fb72b548ee3a0fb392)
![{\displaystyle k\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5bc4b7383031ba693b7433198ead7170954c1d)
(여기서
는 지시 함수이다.)
이제, 함수
에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.
- (강가측 함수, 强可測函數, 영어: strongly measurable function) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
- (약가측 함수, 弱可測函數, 영어: weakly measurable function) 임의의 연속 쌍대 공간 원소
에 대하여,
는 가측 함수이다.
이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, 영어: Pettis measurability theorem)에 따르면, 함수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:5, Theorem 1.1.6
- 강가측 함수이다.
- 약가측 함수이며,
인 분해 가능 부분 공간
가 존재한다.
특히, 만약
가 분해 가능 바나흐 공간일 경우,
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 강가측 함수이다.
- 가측 함수이다.
- 약가측 함수이다.
가측 공간
및
및 두
-바나흐 공간
,
가 주어졌다고 하자. 만약
가 강가측 함수이며,
가 가측 함수라면,
는 강가측 함수이다.[1]:7, Corollary 1.1.11
정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.
모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약
가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수
는 가측 함수가 아니다.
강가측 함수가 아닌 가측 함수[편집]
분해 불가능
-바나흐 공간
위의 항등 함수
![{\displaystyle f\colon x\mapsto x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0ebe2a7ffa1c69550801d78c9c02c993ad68fc)
를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나
가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라
는 강가측 함수가 아니다.[1]:4, Example 1.1.5
가측 함수가 아닌 약가측 함수[편집]
실수의 셈측도 공간
위의 르베그 공간
를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039cd8bb518f369bf20f0e46af065ba7ceeab48b)
![{\displaystyle f(x)(t)={\begin{cases}1&t=x\\0&t\neq x\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79aa6b8c871f906aad9a11817e41a02a05a5d8aa)
그렇다면,
는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle \langle f,f(x)\rangle =f(x)\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfddb6c3dce3c527cc24ce5842bb7236e3f4a8f)
는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합
에 대하여,
![{\displaystyle B=\bigcup _{x\in A}\operatorname {ball} _{\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )}(1,f(x))\subset \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b02d7f84202bb4451d2231ecac43e175ec1900)
는 열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상
![{\displaystyle f^{-1}(B)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b26488606f8b49ba1af26bd6c0c495db5ab8d1)
는 가측 집합이 아니다.
- Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
외부 링크[편집]