루진의 정리

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해석학에서, 루진의 정리(Лузин의定理, 영어: Luzin's theorem)는 가측 함수가 거의 어디서나 연속 함수라는 정리다.

정의[편집]

라돈 측도 를 갖춘 하우스도르프 공간 에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 제2 가산 공간 로 가는 가측 함수

에 대하여, 만약 라면, 루진의 정리에 따르면 임의의 양의 실수 에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 닫힌 집합 가 존재한다.

  • 연속 함수이다.

만약 가 추가로 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 양의 실수 에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 콤팩트 집합 연속 함수 가 존재한다.

  • 이다.

실수 구간의 경우, 다음과 같은 형태의 루진 정리가 성립한다. 임의의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 가측 함수이다. 여기서 정의역은 르베그 측도, 공역은 보렐 시그마 대수를 갖춘다.
  • 임의의 양의 실수 에 대하여, 연속 함수 가 존재한다.

역사[편집]

니콜라이 니콜라예비치 루진이 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Lusin, N.N. (1912). “Sur les propriétés des fonctions mesurables”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences권=154》 (프랑스어): 1688–1690. Zbl 43.0484.04. 
  • 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]