파인만 도형

이 파인만 도형에서 전자(e⁻)와 양전자(e⁺)가 쌍소멸하여 광자(γ, 파란색 사인파로 표시)를 생성하고, 이 광자는 쿼크–반쿼크 쌍(쿼크 q, 반쿼크 q̄)이 된다. 그 후 반쿼크는 글루온(g, 녹색 나선으로 표시)을 방출한다.

이론물리학에서 파인만 도형(영어: Feynman diagram)은 아원자 입자의 거동과 상호작용을 설명하는 수학적 표현을 시각적으로 나타낸 것이다. 이 체계는 1948년에 이 도형을 도입한 미국의 물리학자 리처드 파인만의 이름을 따서 명명되었다.

이론 입자물리학에서 확률 진폭을 계산하려면 수많은 변수에 대한 크고 복잡한 적분을 사용해야 한다. 파인만 도형은 이러한 적분을 도식적으로 대신 나타낸다.

파인만 도형은 자칫 난해하고 추상적일 수 있는 공식을 간단하게 시각화해 준다. 데이비드 카이저에 따르면, "20세기 중반 이후 이론 물리학자들은 중요한 계산을 수행하는 데 도움을 얻기 위해 점점 더 이 도구에 의존하게 되었다. 파인만 도형은 이론물리학의 거의 모든 측면을 혁신했다"라고 말했다.

이 도형은 주로 양자장론에 적용되지만, 고체 이론과 같은 물리학의 다른 분야에서도 사용될 수 있다. 프랭크 윌첵은 자신에게 2004년 노벨 물리학상을 안겨준 계산들이 "파인만 도형 없이는 문자 그대로 생각조차 할 수 없었을 것이며, 힉스 입자의 생성과 관찰 경로를 확립한 (윌첵의) 계산도 마찬가지였다"라고 썼다.

파인만 도형은 양자역학적 또는 통계적 장론의 산란 진폭이나 상관 함수에 대한 섭동적 기여를 그래픽으로 나타낸 것이다. 양자장론의 정준 양자화 정식화 내에서 파인만 도형은 섭동적 S-행렬의 윅 전개 항을 나타낸다. 대안적으로 양자장론의 경로 적분 공식화는 전이 진폭을 입자 또는 장의 관점에서 초기 상태에서 최종 상태까지 시스템의 모든 가능한 이력의 가중 합으로 나타낸다. 이때 전이 진폭은 양자 시스템의 초기 상태와 최종 상태 사이의 S-행렬의 행렬 요소로 주어진다.

파인만은 양전자를 마치 시간축을 거슬러 올라가는 전자인 것처럼 해석한 에른스트 슈튀켈베르크의 해석을 사용했다. 따라서 파인만 도형에서 반입자는 시간축을 따라 뒤로 이동하는 것으로 표시된다.

동기 및 역사

1984년의 리처드 파인만

이 도형에서 위 쿼크와 기묘 반쿼크로 이루어진 케이 중간자가 약한 상호작용과 강한 상호작용을 모두 거쳐 세 개의 파이 중간자로 붕괴한다. 중간 단계에는 각각 파란색 사인파와 녹색 나선으로 표시된 W 보손과 글루온이 관여한다.

입자물리학에서 산란 단면적을 계산할 때, 입자 사이의 상호작용은 들어오고 나가는 입자를 설명하는 자유장에서 시작하여 입자들이 서로를 편향시키는 방식을 설명하는 상호작용 해밀토니언을 포함함으로써 설명될 수 있다. 산란 진폭은 가능한 모든 중간 입자 상태에 대한 각 상호작용 이력의 합이다. 상호작용 해밀토니언이 작용하는 횟수는 섭동 전개의 차수이며, 장에 대한 시간 의존적 섭동 이론은 다이슨 급수로 알려져 있다. 중간 시간에서의 중간 상태가 에너지 고유 상태(특정한 운동량을 가진 입자들의 모임)일 때, 이 급수를 구식 섭동 이론(또는 시간 의존적/시간 순서 섭동 이론)이라고 한다.

다이슨 급수는 대안적으로 파인만 도형의 합으로 다시 쓸 수 있다. 여기서 각 꼭짓점에서는 에너지와 운동량이 모두 보존되지만, 에너지-운동량 사차원 벡터의 길이는 반드시 질량과 같을 필요는 없다. 즉, 중간 입자들은 소위 탈각 상태(off-shell)에 있다. 파인만 도형은 "구식" 항보다 추적하기 훨씬 쉬운데, 그 이유는 구식 방식이 입자와 반입자의 기여를 별개로 취급하기 때문이다. 각 파인만 도형은 기하급수적으로 많은 구식 항의 합인데, 이는 각 내부 선이 입자 또는 반입자를 별도로 나타낼 수 있기 때문이다. 비상대론적인 고전역학 이론에는 반입자가 없고 중복도 없으므로 각 파인만 도형은 하나의 항만 포함한다.

파인만은 라그랑지언으로부터 주어진 도형의 진폭을 계산하기 위한 처방(아래의 파인만 규칙)을 제시했다. 각 내부 선은 가상 입자의 전파 인자에 해당하고, 선들이 만나는 각 꼭짓점은 라그랑지언의 상호작용 항에서 유도된 인자를 제공하며, 들어오고 나가는 선은 에너지, 운동량 및 스핀을 운반한다.

수학적 도구로서의 가치 외에도 파인만 도형은 입자 상호작용의 본질에 대한 깊은 물리적 통찰력을 제공한다. 입자들은 가능한 모든 방식으로 상호작용한다. 사실 중간 가상 입자는 빛보다 빠르게 전파될 수도 있다. 그런 다음 각 최종 상태의 확률은 이러한 모든 가능성을 합산하여 얻어진다. 이는 역시 파인만이 창안한 양자역학의 경로 적분 공식화와 밀접하게 연관되어 있다.

이러한 계산을 나이브하게 적용하면 종종 진폭이 무한인 도형이 생성되는데, 이는 단거리 입자 상호작용이 입자 자체 상호작용을 포함하기 위해 신중한 극한 절차를 필요로 하기 때문이다. 에른스트 슈튀켈베르크와 한스 베테가 제안하고 프리먼 다이슨, 파인만, 줄리언 슈윙거, 토모나가 신이치로가 구현한 재규격화 기술은 이 효과를 보정하고 골칫거리인 무한대를 제거한다. 재규격화 후 파인만 도형을 사용한 계산은 실험 결과와 매우 높은 정밀도로 일치한다.

파인만 도형과 경로 적분 방법은 통계역학에서도 사용되며 고전역학에도 적용될 수 있다.

다른 이름들

머리 겔만은 파인만 도형을 항상 슈튀켈베르크 도형(영어: Stueckelberg diagrams)이라고 불렀는데, 이는 수년 전에 유사한 표기법을 고안한 스위스 물리학자 에른스트 슈튀켈베르크의 이름을 딴 것이다. 슈튀켈베르크는 양자장론을 위한 명백히 공변적인 형식주의의 필요성에 의해 동기부여를 받았지만, 대칭 인자와 루프를 처리하는 자동화된 방법을 제공하지는 못했다. 비록 그는 경로 적분 없이 입자의 시간이 순방향 및 역방향으로 흐르는 경로의 관점에서 올바른 물리적 해석을 최초로 찾아냈지만 말이다.

역사적으로 공변적 섭동 이론의 장부 기록 장치로서 이 그래프들은 파인만-다이슨 도형(영어: Feynman–Dyson diagrams) 또는 다이슨 그래프(영어: Dyson graphs)라고 불렸다. 그 이유는 이들이 도입되었을 때 경로 적분이 생소했기 때문이며, 통계역학의 섭동 전개에서 빌려온 구식 섭동 이론으로부터의 프리먼 다이슨의 유도가 이전의 방법으로 훈련받은 물리학자들이 따르기에 더 쉬웠기 때문이다. 파인만은 방정식과 그래프에 익숙한 물리학자들을 혼란스럽게 했던 이 도형들을 옹호하기 위해 열심히 로비해야 했다.

물리적 실체의 표현

입자물리학의 관점에서 작성된 기본 상호작용에 대한 발표물에서, 헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만은 정규화되지 않은 원래의 파인만 도형을 기본 입자의 양자 산란 물리학에 대한 가장 간결한 표현으로 받아들여야 한다는 좋은 근거를 제시했다. 그들의 동기는 제임스 비요르켄과 시드니 드렐의 확신과 일치한다.

파인만 그래프와 계산 규칙은 이해하고자 하는 실험 수치와 밀접하게 접촉하는 형태로 양자장론을 요약한다. 그래프 측면에서의 이론 진술이 섭동 이론을 암시할 수 있지만, 다체 문제에서 도식적 방법의 사용은 이 형식주의가 비섭동적 성격의 현상을 다룰 수 있을 만큼 충분히 유연함을 보여준다 ... 파인만 계산 규칙의 일부 수정은 국소 정준 양자장론의 정교한 수학적 구조보다 더 오래 살아남을 수도 있다...

양자장론에서 파인만 도형은 파인만 규칙에 의해 라그랑지언으로부터 얻어진다.

차원 조절은 파인만 도형의 평가에서 적분을 조절하기 위한 방법이다. 이는 차원이라고 불리는 보조 복소수 매개변수 d의 유리형 함수인 값을 적분에 할당한다. 차원 조절은 파인만 적분을 시공간 차원 d와 시공간 지점에 의존하는 적분으로 쓴다.

입자 경로 해석

파인만 도형은 기본 입자 상호작용의 관점에서 양자장론 프로세스를 표현한 것이다. 입자는 도형의 선으로 표시된다. 선은 입자의 유형에 따라 물결 모양이거나 직선일 수 있고, 화살표가 있거나 없을 수 있다. 선들이 다른 선들과 연결되는 점은 꼭짓점이며, 여기서 입자들이 만나고 상호작용한다. 상호작용은 입자 방출/흡수, 입자 편향 또는 입자 유형 변경이다.

세 가지 다른 유형의 선은 다음과 같다. 꼭짓점을 연결하는 내부 선, "과거"로부터 꼭짓점까지 뻗어 나와 초기 상태를 나타내는 들어오는 선, 그리고 꼭짓점으로부터 "미래"로 뻗어 나가 최종 상태를 나타내는 나가는 선(후자 두 개는 외부 선으로도 알려져 있다). 전통적으로 도형의 아래쪽은 과거이고 위쪽은 미래이다. 대안적으로 과거는 왼쪽이고 미래는 오른쪽이다. 산란 진폭 대신 상관 함수를 계산할 때는 과거와 미래가 관련이 없으며 모든 선은 내부 선이다. 입자들은 상관관계가 계산되는 연산자의 위치를 나타내는 작은 x에서 시작하고 끝난다.

파인만 도형은 다른 방식으로 발생할 수 있는 프로세스의 총 진폭에 대한 기여를 도식적으로 나타낸 것이다. 들어오는 입자 그룹이 서로 산란될 때, 이 프로세스는 입자들이 시간적으로 거꾸로 가는 경로를 포함하여 모든 가능한 경로를 이동하는 것으로 생각할 수 있다.

파인만 도형은 산란 과정 중 입자의 물리적 위치보다는 입자의 상호작용을 나타내는 그래프이다. 파인만 도형은 입자 산란을 모두 설명하지만 시공도표나 거품 상자 이미지와는 다르다. 거품 상자 사진과 달리, 모든 관련 파인만 도형의 합만이 주어진 입자 상호작용을 나타낸다. 입자들은 상호작용할 때마다 특정한 도형 하나를 선택하지 않는다. 합산의 법칙은 중첩 원리에 따른다. 즉, 모든 도형이 전체 과정의 진폭에 기여한다.

설명

산란 과정 A + B → C + D의 일반적인 특징:
• 중간 입자와 과정을 나타내는 내부 선 (빨간색)은 전파 인자("prop")를 가진다. 꼭짓점(검은색)으로 들어오거나 나가는 입자를 나타내는 외부 선 (주황색),
• 각 꼭짓점에서는 델타 함수를 사용하여 사차원 운동량이 보존된다. 꼭짓점으로 들어가는 사차원 운동량은 양수이고 나가는 것은 음수이며, 각 꼭짓점과 내부 선의 인자들은 진폭 적분에서 곱해진다.
• 공간 x과 시간 t 축은 항상 표시되지는 않으며, 외부 선의 방향은 시간의 흐름에 대응한다.

파인만 도형은 어떤 초기 양자 상태에서 최종 양자 상태로의 양자 전이 진폭에 대한 섭동적 기여를 나타낸다.

예를 들어, 전자-양전자 쌍소멸 과정에서 초기 상태는 전자 하나와 양전자 하나이고, 최종 상태는 광자 두 개이다.

관례적으로 초기 상태는 도형의 왼쪽에, 최종 상태는 오른쪽에 배치한다(다른 레이아웃도 사용되지만).

초기 상태의 입자는 초기 상태의 방향(예: 왼쪽)을 가리키는 선으로 묘사된다. 최종 상태의 입자는 최종 상태의 방향(예: 오른쪽)을 가리키는 선으로 표현된다.

양자 전기역학(QED)에는 두 가지 유형의 입자가 포함된다. 전자 또는 양전자와 같은 물질 입자(페르미온이라고 함)와 교환 입자(게이지 보손이라고 함)이다. 이들은 파인만 도형에서 다음과 같이 표현된다.

• 초기 상태의 전자는 실선으로 표시되며, 화살표는 입자의 스핀을 나타내며 예컨대 꼭짓점을 향한다(→•).
• 최종 상태의 전자는 실선으로 표시되며, 화살표는 입자의 스핀을 나타내며 예컨대 꼭짓점에서 멀어지는 방향을 향한다(•→).
• 초기 상태의 양전자는 실선으로 표시되며, 화살표는 입자의 스핀을 나타내며 예컨대 꼭짓점에서 멀어지는 방향을 향한다(←•).
• 최종 상태의 양전자는 실선으로 표시되며, 화살표는 입자의 스핀을 나타내며 예컨대 꼭짓점을 향한다(•←).
• 초기 및 최종 상태의 가상 광자는 물결선으로 표시된다(~• 및 •~).

QED에서 각 꼭짓점에는 세 개의 선이 연결된다. 보손 선 하나, 꼭짓점을 향하는 화살표가 있는 페르미온 선 하나, 꼭짓점에서 멀어지는 화살표가 있는 페르미온 선 하나이다.

꼭짓점은 보손 또는 페르미온 전파 인자로 연결될 수 있다. 보손 전파 인자는 두 꼭짓점을 연결하는 물결선(•~•)으로 표시된다. 페르미온 전파 인자는 두 꼭짓점을 연결하는 화살표가 있는 실선(•←•)으로 표시된다.

꼭짓점의 수는 전이 진폭의 섭동 급수 전개에서 항의 차수를 나타낸다.

전자–양전자 쌍소멸 예시

시간축이 수직인 전자/양전자 쌍소멸의 파인만 도형

전자-양전자 쌍소멸 상호작용:

e⁺ + e⁻ → 2γ

에는 2차 파인만 도형의 기여가 있다.

초기 상태(아래쪽, 이른 시간)에는 전자(e⁻) 하나와 양전자(e⁺) 하나가 있고, 최종 상태(위쪽, 늦은 시간)에는 광자(γ) 두 개가 있다.

정준 양자화 정식화

초기 상태 |i⟩에서 최종 상태 | f ⟩로의 양자 시스템 전이(점근적으로 자유로운 상태 사이)의 확률 진폭은 다음 행렬 요소로 주어진다.

$S_{\rm {fi}}=\langle \mathrm {f} |S|\mathrm {i} \rangle \;,$

여기서 S는 S-행렬이다. 시간 진화 연산자 U의 관점에서 보면 간단히 다음과 같다.

$S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\left[\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\right]\;.$

상호작용 묘사에서 이는 다음과 같이 전개된다.

$S={\mathcal {T}}\exp \left(-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau )\right).$

여기서 H_V는 상호작용 해밀토니언이고 ${\mathcal {T}}$는 연산자의 시간 순서 곱을 의미한다. 다이슨 공식은 시간 순서 행렬 지수 함수를 상호작용 해밀토니언 밀도의 거듭제곱에 대한 섭동 급수로 전개한다.

$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.$

마찬가지로 상호작용 라그랑지언 L_V를 사용하면 다음과 같다.

$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.$

파인만 도형은 S-행렬의 다이슨 급수의 n차 항 S⁽ⁿ⁾에서 시간 순서 곱의 윅 전개에 있는 단일 피가수(summand)를 그래픽으로 나타낸 것이다.

${\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{\text{A}}(\pm ){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,$

여기서 N은 연산자의 표준 순서 곱을 의미하고, (±)는 페르미온 연산자들을 수축(전파 인자)을 위해 모으는 과정에서 교환할 때 발생할 수 있는 부호 변화를 처리하며, A는 가능한 모든 수축을 나타낸다.

파인만 규칙

도형은 상호작용 라그랑지언에 따라 결정되는 파인만 규칙에 따라 그려진다. 페르미온 장 ψ와 보손 게이지 장 A_μ의 상호작용을 설명하는 QED 상호작용 라그랑지언

$L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$

에 대해, 파인만 규칙은 좌표 공간에서 다음과 같이 공식화될 수 있다.

• 각 적분 좌표 x_j는 점(때로는 꼭짓점이라고 함)으로 표시된다.
• 보손 전파 인자는 두 점을 연결하는 물결선으로 표시된다.
• 페르미온 전파 인자는 두 점을 연결하는 실선으로 표시된다.
• 보손 장 $A_{\mu }(x_{i})$는 점 x_i에 부착된 물결선으로 표시된다.
• 페르미온 장 ψ(x_i)는 점 x_i를 향하는 화살표가 있는, 그 점에 부착된 실선으로 표시된다.
• 반페르미온 장 ψ(x_i)는 점 x_i에서 멀어지는 화살표가 있는, 그 점에 부착된 실선으로 표시된다.

예시: QED의 2차 과정

S-행렬의 2차 섭동 항은 다음과 같다.

$S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;$

페르미온의 산란

$N{\bar {\psi }}(x)ie\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')ie\gamma ^{\nu }\psi (x')A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')$ 항의 파인만 도형

피적분 함수의 윅 전개는 (다른 항들과 함께) 다음 항을 제공한다.

$N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,$

여기서

${\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}$

는 파인만 게이지에서의 전자기 수축(전파 인자)이다. 이 항은 오른쪽의 파인만 도형으로 표시된다. 이 도형은 다음과 같은 과정에 기여한다.

1. e⁻ e⁻ 산란 (도형의 오른쪽이 초기 상태, 왼쪽이 최종 상태)
2. e⁺ e⁺ 산란 (도형의 왼쪽이 초기 상태, 오른쪽이 최종 상태)
3. e⁻ e⁺ 산란 (도형의 아래쪽/위쪽이 초기 상태, 위쪽/아래쪽이 최종 상태)

콤프턴 산란 및 e⁻ e⁺ 쌍의 소멸/생성

전개식의 또 다른 흥미로운 항은 다음과 같다.

$N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,$

여기서

${\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}$

는 페르미온 수축(전파 인자)이다.

경로 적분 공식화

경로 적분 공식화에서, 가능한 모든 장의 이력에 대해 적분된 장 라그랑지언은 한 장 구성에서 다른 구성으로 갈 확률 진폭을 정의한다. 말이 되게 하려면 장론은 잘 정의된 바닥 상태를 가져야 하며, 적분은 허수 시간 쪽으로 약간 회전된 상태, 즉 윅 회전된 상태에서 수행되어야 한다. 경로 적분 형식주의는 위의 정준 연산자 형식주의와 완전히 동등하다.

스칼라장 라그랑지언

간단한 예는 d차원에서 자유 상대론적 스칼라장이며, 그 작용 적분은 다음과 같다.

$S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.$

과정의 확률 진폭은 다음과 같다.

$\int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,$

여기서 A와 B는 경계 조건을 정의하는 공간꼴 초곡면이다. 시작 초곡면에서의 모든 φ(A)의 모음은 장의 초기값을 제공하며, 이는 점입자의 시작 위치와 유사하다. 그리고 최종 초곡면의 각 지점에서의 장 값 φ(B)은 최종 장 값을 정의하며, 이는 변할 수 있으므로 서로 다른 값으로 끝날 때마다 다른 진폭을 제공한다. 이것이 장-대-장 전이 진폭이다.

경로 적분은 초기 상태와 최종 상태 사이의 연산자 기댓값을 제공한다.

$\int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,$

그리고 A와 B가 무한한 과거와 무한한 미래로 물러나는 극한에서, 중요한 유일한 기여는 바닥 상태로부터 온다(이는 경로 적분이 허수 시간 쪽으로 약간 회전되어 정의된 경우에만 엄격하게 참이다). 경로 적분은 확률 분포와 유사한 것으로 생각할 수 있으며, 상수를 곱해도 아무것도 변하지 않도록 다음과 같이 정의하는 것이 편리하다.

${\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.$

분모의 정규화 인자는 장의 분배 함수이며, 허수 시간으로 회전했을 때 온도가 0인 통계역학적 분배 함수와 일치한다.

장의 변동이 무제한이 될 수 있기 때문에 처음부터 연속체 극한을 생각하면 초기-최종 진폭이 잘 정의되지 않는다. 따라서 경로 적분은 격자 간격이 a인 이산적인 정사각형 격자 위에 있는 것으로 생각할 수 있으며, a → 0 극한을 신중하게 취해야 한다. 최종 결과가 격자의 모양이나 a 값에 의존하지 않는다면 연속체 극한이 존재한다.

격자 위에서

격자 (i)에서, 장은 푸리에 급수 모드로 전개될 수 있다.

$\phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi )^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.$

여기서 적분 영역은 변의 길이가 ⁠2π/a⁠인 정육면체로 제한된 k에 대한 것이므로, 큰 k 값은 허용되지 않는다. k-측도가 푸리에 변환에서 온 2π 인자를 포함한다는 점에 유의하는 것이 중요하다. 이것이 양자장론에서 k-적분에 대한 가장 좋은 표준 관례이다. 격자는 큰 k에서의 변동이 즉시 기여하는 것을 허용하지 않으며, 이들은 오직 a → 0 극한에서만 기여하기 시작한다. 때때로 격자 대신 장 모드가 그냥 큰 k 값에서 차단된다.

또한 가끔은 시공간 부피가 유한하다고 간주하여 k 모드 또한 격자가 되도록 하는 것이 편리하다. 이는 공간 격자 극한만큼 엄격하게 필요하지는 않은데, k에서의 상호작용은 국소화되지 않기 때문이다. 하지만 k-적분 앞에 붙는 인자들과 발생하게 될 운동량 보존 델타 함수를 추적하는 데 편리하다.

격자 (ii)에서, 작용은 이산화될 필요가 있다.

$S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big )}^{2}\,,$

여기서 ⟨x,y⟩는 가장 가까운 격자 이웃 쌍 x와 y이다. 이산화는 도함수 ∂_μφ가 무엇을 의미하는지 정의하는 것으로 생각해야 한다.

격자 푸리에 모드의 관점에서 작용은 다음과 같이 쓰일 수 있다.

$S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big )}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big )}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big )}{\Big )}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.$

0 근처의 k에 대해 이는 다음과 같다.

$S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.$

이제 원래 작용의 연속체 푸리에 변환을 얻었다. 유한한 부피에서 양 d^dk는 무한소가 아니라, 인접한 푸리에 모드들에 의해 만들어진 상자의 부피, 즉 (⁠2π/V⁠)d
 가 된다.

장 φ는 실수값이므로 푸리에 변환은 다음을 따른다.

$\phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.$

실수부와 허수부의 관점에서, φ(k)의 실수부는 k의 우함수인 반면 허수부는 기함수이다. 푸리에 변환은 중복 계산을 피하므로 다음과 같이 쓰일 수 있다.

$S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)$

적분 영역은 각 쌍 (k,−k)을 정확히 한 번씩 적분한다.

다음과 같은 작용을 가진 복소 스칼라장의 경우

$S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x$

푸리에 변환은 제약이 없다.

$S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}$

그리고 적분은 모든 k에 대해 수행된다.

푸리에 변환을 취하는 것은 장 좌표의 유니터리 선형 변환이므로, 모든 서로 다른 φ(k) 값에 대해 적분하는 것은 모든 푸리에 모드에 대해 적분하는 것과 동등하다. 다차원 적분에서 선형 변환으로 좌표를 바꿀 때, 새로운 적분값은 변환 행렬의 행렬식으로 주어진다. 만약

$y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,$

이면

$\det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.$

만약 A가 회전이라면

$A^{\mathrm {T} }A=I$

이므로 det A = ±1이고, 부호는 회전에 반사가 포함되는지 여부에 따라 달라진다.

φ(x)에서 φ(k)로 좌표를 바꾸는 행렬은 푸리에 변환의 정의에서 읽어낼 수 있다.

$A_{kx}=e^{ikx}\,$

그리고 푸리에 역변환 정리는 그 역을 알려준다.

$A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,$

이는 2π 인자들을 제외하면 켤레 전치이다. 유한 부피 격자에서 행렬식은 0이 아니며 장 값들과 무관하다.

$\det A=1\,$

그리고 경로 적분은 각 k 값에서의 별도의 인자가 된다.

$\int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,$

인자 d^dk는 k-공간의 이산적인 셀의 무한소 부피이며, 정사각형 격자 상자에서는 다음과 같다.

$d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,$

여기서 L은 상자의 변의 길이이다. 각 별도의 인자는 진동하는 가우시안이며, 가우시안의 너비는 부피가 무한대로 갈 때 발산한다.

허수 시간에서 유클리드 작용은 양의 확정(positive definite)이 되며 확률 분포로 해석될 수 있다. 장이 φ_k 값을 가질 확률은 다음과 같다.

$e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.$

장의 기댓값은 해당 확률 분포에 따라 선택될 때 장의 통계적 기댓값이다.

$\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}$

φ_k의 확률이 곱 형태이므로, 각 별도의 k 값에서의 φ_k 값은 독립적으로 가우시안 분포를 따른다. 가우시안의 분산은 ⁠1/k²d^dk⁠이며 이는 형식적으로 무한하지만, 이는 단지 무한한 부피에서 변동이 무제한임을 의미한다. 임의의 유한한 부피에서 적분은 이산적인 합으로 대체되고, 적분의 분산은 ⁠V/k²⁠이 된다.

몬테카를로

경로 적분은 유클리드 스칼라장 구성을 생성하는 확률론적 알고리즘을 정의한다. 각 파수 k에서 각 푸리에 모드의 실수부와 허수부를 분산이 ⁠1/k²⁠인 가우시안 랜덤 변수로 무작위로 선택한다. 이렇게 하면 무작위로 구성 φ_C(k)가 생성되고, 푸리에 변환이 φ_C(x)를 제공한다. 실수 스칼라장의 경우, 알고리즘은 각 쌍 φ(k), φ(−k) 중 하나만 생성하고 두 번째는 첫 번째의 복소 켤레로 만들어야 한다.

임의의 상관 함수를 찾으려면 이 절차를 반복하여 장을 계속 생성하고 통계적 평균을 구한다.

$\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}$

여기서 |C|는 구성의 수이고, 합은 각 구성에서의 장 값들의 곱에 대한 합이다. 유클리드 상관 함수는 통계학이나 통계역학에서의 상관 함수와 똑같다. 양자역학적 상관 함수는 유클리드 상관 함수의 해석적 연속이다.

이차 작용을 가진 자유장의 경우, 확률 분포는 고차원 가우시안이며 통계적 평균은 명시적 공식으로 주어진다. 하지만 몬테카를로 방법은 상관 함수에 대한 폐쇄형(closed form)이 없는 보손 상호작용 장론에서도 잘 작동한다.

스칼라 전파 인자

각 모드는 독립적으로 가우시안 분포를 따른다. 장 모드의 기댓값은 계산하기 쉽다.

$\left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,$

k ≠ k′인 경우인데, 이때 두 가우시안 랜덤 변수는 독립적이고 둘 다 평균이 0이기 때문이다.

$\left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}$

유한 부피 V에서 두 k-값이 일치할 때인데, 이것이 가우시안의 분산이기 때문이다. 무한 부피 극한에서는 다음과 같다.

$\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}$

엄밀히 말하면 이는 근사치이다. 격자 전파 인자는 다음과 같다.

$\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big )}}}$

하지만 k = 0 근처에서, 격자 간격에 비해 긴 장의 변동에 대해서는 두 형식이 일치한다.

델타 함수는 2π 인자를 포함하므로 k 적분을 위한 측도 내의 2π 인자들을 상쇄한다.

$\delta (k)=(2\pi )^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,$

여기서 δ_D(k)는 일반적인 1차원 디랙 델타 함수이다. 이 델타 함수 관례는 보편적인 것은 아니다. 일부 저자는 델타 함수(및 k-적분) 내의 2π 인자들을 명시적으로 유지한다.

운동 방정식

전파 인자의 형태는 장의 운동 방정식을 사용하여 더 쉽게 찾을 수 있다. 라그랑지언으로부터 운동 방정식은 다음과 같다.

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,$

그리고 기댓값에서 이는 다음을 의미한다.

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0$

여기서 도함수는 x에 작용하며, 이 항등식은 x와 y가 일치할 때를 제외하고 모든 곳에서 참이며 연산자 순서가 중요하다. 특이점의 형태는 정준 교환 관계로부터 델타 함수임을 알 수 있다. (유클리드) 파인만 전파 인자 Δ를 시간 순서 2점 함수(경로 적분에서 나오는 것)의 푸리에 변환으로 정의하면 다음과 같다.

$\partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,$

따라서,

$\Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}$

운동 방정식이 선형이라면, 전파 인자는 항상 자유 라그랑지언을 정의하는 이차 형식 행렬의 역수가 될 것인데, 이것이 운동 방정식을 제공하기 때문이다. 이는 경로 적분으로부터 직접 보는 것도 쉽다. 유클리드 이론에서 i 인자는 사라진다.

윅 정리

 이 부분의 본문은 윅 정리입니다.

각 장 모드가 독립적인 가우시안이므로, 많은 장 모드 곱에 대한 기댓값은 윅 정리를 따른다.

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle$

은 장 모드들이 쌍으로 일치하지 않는 한 0이다. 이는 홀수 개의 φ에 대해서는 0이고, 짝수 개의 φ에 대해서는 각 쌍에서 별도로 기여하는 델타 함수의 합과 같음을 의미한다.

$\left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}$

여기서 합은 장 모드들을 쌍으로 나누는 각 분할에 대한 것이고, 곱은 그 쌍들에 대한 것이다. 예를 들어,

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}$

윅 정리의 해석은 각 장의 삽입을 매달린 선으로 생각할 수 있으며, 기댓값은 선들을 쌍으로 연결하고 각 쌍의 파트너들의 운동량이 같음을 보장하는 델타 함수 인자를 넣고 전파 인자로 나누어 계산된다는 것이다.

고차 가우시안 적률 — 윅 정리의 보완

윅 정리가 증명되기 전에 한 가지 미묘한 점이 남아 있다. 만약 $\phi$들 중 두 개 이상이 같은 운동량을 가지면 어떻게 될까? 홀수 개라면 적분은 0이다. 음수 값이 양수 값과 상쇄되기 때문이다. 하지만 짝수 개라면 적분은 양수이다. 이전 논증은 $\phi$들이 오직 쌍으로만 일치할 것이라고 가정했다.

하지만 이 정리는 임의의 개수의 $\phi$가 같을 때도 옳으며, 이는 가우시안 적분의 주목할 만한 특성이다.

$I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}$

${\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}$

I로 나누면,

$\left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}$

$\left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}$

윅 정리가 맞다면, 고차 적률은 2n개의 서로 다른 x 목록의 가능한 모든 짝지어주기에 의해 주어질 것이다.

$\left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle$

여기서 x들은 모두 같은 변수이며, 인덱스는 이들을 짝지어주는 방법의 수를 추적하기 위한 것일 뿐이다. 첫 번째 x는 다른 2n − 1개와 짝지어질 수 있고, 2n − 2개가 남는다. 그 다음 짝지어지지 않은 x는 다른 2n − 3개의 x와 짝지어질 수 있어 2n − 4개가 남는 식이다. 이는 수정되지 않은 윅 정리가 x²ⁿ의 기댓값이 다음과 같아야 함을 말해준다는 뜻이다.

$\left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}$

그리고 이것은 실제로 정답이다. 따라서 내부 변수들의 운동량이 아무리 많이 일치하더라도 윅 정리는 성립한다.

상호작용

상호작용은 고차 기여로 나타나는데, 이차 기여는 항상 가우시안이기 때문이다. 가장 단순한 상호작용은 사차 자체 상호작용으로, 다음과 같은 작용을 가진다.

$S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.$

조합 인자 4!를 붙인 이유는 곧 분명해질 것이다. 작용을 격자(또는 연속체) 푸리에 모드의 관점에서 쓰면 다음과 같다.

$S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.$

여기서 S_F는 자유 작용이며, 그 상관 함수는 윅 정리에 의해 주어진다. 경로 적분에서 S의 지수는 λ의 거듭제곱으로 전개될 수 있으며, 자유 작용에 대한 일련의 보정 항들을 제공한다.

$e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)$

상호작용 작용에 대한 경로 적분은 자유 작용에 대한 보정 항들의 멱급수이다. X로 표시된 항은 네 개의 반직선(half-line)으로 생각해야 하며, 각각은 φ(k)의 인자 하나씩에 해당한다. 이 반직선들은 꼭짓점에서 만나며, 이는 운동량의 합이 모두 같음을 보장하는 델타 함수를 기여한다.

상호작용 이론에서 상관 함수를 계산하기 위해 이제 X 항들의 기여가 있다. 예를 들어, 4중 장 상관 함수에 대한 경로 적분은 다음과 같다.

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}$

이는 자유장에서 운동량 k가 쌍으로 같을 때만 0이 아니었지만, 이제는 모든 k 값에 대해 0이 아니다. 삽입된 φ(k_i)의 운동량은 이제 전개식에 있는 X들의 운동량과 일치할 수 있다. 삽입 또한 반직선으로 생각해야 하며, 여기서는 네 개이고 운동량 k를 운반하지만 적분되지는 않는다.

가장 낮은 차수의 기여는 작용의 테일러 전개에서 첫 번째 비자명한 항 e^−S_FX에서 나온다. 윅 정리는 X 반직선의 운동량, 즉 X에 있는 φ(k) 인자들이 외부 반직선의 운동량과 쌍으로 일치해야 함을 요구한다. 새로운 기여는 다음과 같다.

$\lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.$

X 내부의 4!은 X의 반직선들을 외부 반직선들과 일치시키는 방법이 정확히 4!가지이기 때문에 상쇄된다. 이 반직선들을 쌍으로 연결하는 각기 다른 방식들은 윅 정리에 의해 k_1,2,3,4의 값에 상관없이 정확히 한 번씩 기여한다.

파인만 도형

작용을 X의 거듭제곱으로 전개하면 점진적으로 더 많은 수의 X를 가진 일련의 항들이 제공된다. 정확히 n개의 X를 가진 항의 기여를 n차라고 한다.

n차 항은 다음과 같다.

1. 4n개의 내부 반직선: 이들은 X들에서 나온 φ(k) 인자들이다. 이들은 모두 꼭짓점에서 끝나며, 가능한 모든 k에 대해 적분된다.
2. 외부 반직선: 이들은 적분 내의 φ(k) 삽입에서 온다.

윅 정리에 의해, 각 반직선 쌍은 하나의 선을 만들기 위해 함께 짝지어져야 하며, 이 선은 다음과 같은 인자를 제공한다.

${\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}$

이것이 기여에 곱해진다. 이는 선을 만드는 두 반직선이 크기는 같고 방향은 반대인 운동량을 가져야 함을 의미한다. 선 자체는 선과 평행하게 그려진 화살표로 표시되어야 하며, 선의 운동량 k로 표시되어야 한다. 화살표 꼬리 쪽의 반직선은 운동량 k를 운반하고, 머리 쪽의 반직선은 운동량 −k를 운반한다. 두 반직선 중 하나가 외부선이라면, 내부 k를 외부 k와 같게 강제하므로 내부 k에 대한 적분이 사라진다. 둘 다 내부선이라면 k에 대한 적분이 남는다.

X의 반직선들을 삽입을 나타내는 외부 반직선들과 연결하여 형성된 도형이 이 이론의 파인만 도형이다. 각 선은 전파 인자인 ⁠1/k²⁠ 인자를 운반하며, 꼭짓점에서 꼭짓점으로 가거나 삽입에서 끝난다. 내부선인 경우 적분된다. 각 꼭짓점에서 들어오는 총 k는 나가는 총 k와 같다.

반직선들을 선으로 연결하여 도형을 만드는 방법의 수는 지수 함수의 테일러 급수에서 나오는 계승(factorial) 인자들과 각 꼭짓점에서의 4!을 거의 완벽하게 상쇄한다.

루프 차수

포리스트(forest) 도형은 모든 내부선의 운동량이 외부선과 각 꼭짓점에서 들어오고 나가는 운동량이 같다는 조건에 의해 완전히 결정되는 도형이다. 이러한 도형의 기여는 적분 없이 전파 인자들의 곱으로 나타난다. 트리(tree) 도형은 연결된 포리스트 도형이다.

트리 도형의 예는 네 개의 외부선 각각이 하나의 X에서 끝나는 것이다. 또 다른 예는 세 개의 외부선이 하나의 X에서 끝나고, 나머지 반직선이 다른 X와 연결되며, 이 X의 나머지 반직선들이 외부선으로 나가는 경우이다. 이들은 모두 포리스트 도형이기도 하다(모든 트리는 포리스트이므로). 트리가 아닌 포리스트의 예는 여덟 개의 외부선이 두 개의 X에서 끝나는 경우이다.

이 모든 경우에서 내부선의 운동량이 외부 운동량과 각 꼭짓점에서의 운동량 보존 조건에 의해 결정됨을 쉽게 확인할 수 있다.

포리스트 도형이 아닌 도형을 루프 도형이라고 하며, 예컨대 X의 두 선이 외부선과 연결되고 나머지 두 선이 서로 연결된 경우이다. 서로 연결된 두 선은 같은 꼭짓점으로 들어오고 나가기 때문에 어떤 운동량도 가질 수 있다. 더 복잡한 예는 두 개의 X가 서로의 다리를 맞추어 연결된 경우이다. 이 도형은 외부선이 전혀 없다.

루프 도형이 루프 도형이라고 불리는 이유는 운동량 보존에 의해 결정되지 않고 남은 k-적분의 수가 호몰로지 이론에서와 같이 도형 내의 독립적인 닫힌 루프의 수와 같기 때문이다. 호몰로지는 실수값(R^d 값)이며, 각 선과 관련된 값은 운동량이다. 경계 연산자는 각 선을 끝 꼭짓점들의 합으로 보내는데, 머리 쪽에는 양의 부호, 꼬리 쪽에는 음의 부호를 붙인다. 운동량이 보존된다는 조건은 정확히 k-값 가중 그래프의 경계가 0이라는 조건이다.

닫힌 루프가 있을 때마다 유효한 k-값 세트를 임의로 재정의할 수 있다. 닫힌 루프는 같은 꼭짓점을 다시 방문하지 않는 인접한 꼭짓점들의 순환 경로이다. 그러한 순환은 가상의 2-셀의 경계로 생각할 수 있다. k의 재정의(즉, 2-셀의 경계)를 제외하고 운동량을 보존하는(즉, 경계가 0인) 그래프의 k-레이블링은 그래프의 제1 호몰로지를 정의한다. 결정되지 않은 독립 운동량의 수는 독립적인 호몰로지 루프의 수와 같다. 많은 그래프의 경우 이는 가장 직관적인 방식으로 계산된 루프의 수와 같다.

대칭 인자

반직선들을 연결하여 주어진 파인만 도형을 형성하는 방법의 수는 매우 많으며, 윅 정리에 따라 반직선들을 짝지어주는 각 방식은 동일하게 기여한다. 종종 이것은 각 항의 분모에 있는 계승 인자들을 완전히 상쇄하지만, 상쇄가 불완전한 경우도 있다.

상쇄되지 않은 분모를 도형의 대칭 인자라고 한다. 상관 함수에 대한 각 도형의 기여는 해당 대칭 인자로 나누어야 한다.

예를 들어, 하나의 X에 연결된 두 개의 외부선과 서로 연결된 나머지 두 개의 X 반직선으로 형성된 파인만 도형을 생각해 보자. 외부 반직선들을 X에 연결하는 방법은 4 × 3가지이며, 나머지 두 선을 서로 연결하는 방법은 오직 하나뿐이다. X는 4! = 4 × 3 × 2로 나뉘어 들어오지만, 도형을 만들기 위해 X 반직선들을 연결하는 방법의 수는 4 × 3뿐이므로, 이 도형의 기여는 2로 나누어진다.

또 다른 예로, 하나의 X의 모든 반직선을 다른 X의 모든 반직선과 연결하여 형성된 도형을 생각해 보자. 이 도형은 외부선과 연결되지 않기 때문에 진공 거품(vacuum bubble)이라고 불린다. 이 도형을 형성하는 방법은 4!가지이지만, 분모에는 2!(지수 함수의 전개에서 X가 두 개이므로)와 4! 두 인자가 포함된다. 기여도는 ⁠4!/2 × 4! × 4!⁠ = ⁠1/48⁠이 곱해진다.

또 다른 예는 두 개의 X에서 각 X가 두 개의 외부선과 연결되고, 각 X의 나머지 두 반직선이 서로 연결된 파인만 도형이다. 하나의 X를 두 개의 외부선에 연결하는 방법은 4 × 3가지이고, 어느 X가 어느 쌍과 연결될 수 있으므로 추가로 2의 인자가 붙는다. 두 X의 나머지 두 반직선은 두 가지 방식으로 서로 연결될 수 있으므로, 도형을 형성하는 총 방법의 수는 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2인 반면 분모는 4! × 4! × 2!이다. 총 대칭 인자는 2이며, 이 도형의 기여는 2로 나누어진다.

대칭 인자 정리는 일반적인 도형에 대한 대칭 인자를 알려준다. 각 파인만 도형의 기여는 자기 동형 군(automorphism group)의 차수, 즉 그 도형이 가진 대칭의 수로 나누어야 한다.

파인만 그래프의 자기 동형 사상은 다음과 같은 성질을 가진 선들의 치환 M과 꼭짓점들의 치환 N이다.

1. 만약 선 l이 꼭짓점 v에서 꼭짓점 v′으로 간다면, M(l)은 N(v)에서 N(v′)으로 간다. 실수 스칼라장에서와 같이 선에 방향이 없다면, M(l)은 N(v′)에서 N(v)으로 갈 수도 있다.
2. 만약 선 틀:수학 l이 외부선에서 끝난다면, M(l)은 같은 외부선에서 끝난다.
3. 선의 유형이 다르다면, M(l)은 유형을 보존해야 한다.

이 정리는 입자 경로의 관점에서 해석된다. 동일한 입자가 존재할 때, 모든 중간 입자에 대한 적분은 동일한 입자를 교환함으로써만 다른 상태를 중복 계산해서는 안 된다.

증명: 이 정리를 증명하려면 도형의 모든 내부선과 외부선에 고유한 이름을 붙인다. 그런 다음 반직선을 이름에 연결한 다음 다른 반직선에 연결하여 도형을 형성한다.

이제 이름 붙여진 도형을 형성하는 방법의 수를 센다. X들의 각 치환은 이름과 반직선을 연결하는 서로 다른 패턴을 제공하며, 이는 n!의 인자이다. 단일 X에 있는 반직선들의 각 치환은 4!의 인자를 제공한다. 따라서 이름 붙여진 도형은 정확히 파인만 전개의 분모만큼의 방식으로 형성될 수 있다.

하지만 이름 없는 도형의 수는 이름 붙여진 도형의 수보다 그래프의 자기 동형 군의 차수만큼 작다.

연결된 도형: 연결된 클러스터 정리

대략적으로 말하면, 파인만 도형의 모든 꼭짓점과 전파 인자 선들이 도형 자체의 꼭짓점과 전파 인자 시퀀스에 의해 연결되어 있다면 그 도형을 연결되었다고 한다. 이를 무방향 그래프로 본다면 연결된 것이다. 양자장론에서 이러한 도형의 놀라운 관련성은 이들이 양자 분배 함수 Z[J]를 결정하기에 충분하다는 사실 때문이다. 더 정확하게는 연결된 파인만 도형들이 다음을 결정한다.

$iW[J]\equiv \ln Z[J].$

이를 확인하려면 다음을 상기해야 한다.

$Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}$

여기서 D_k는 여러 연결된 성분 C_i로 구성된 것으로 생각할 수 있는 임의의 파인만 도형으로부터 구성된다. 파인만 도형 D_k 내에서 성분 C_i의 (동일한) 복사본 n_i개를 만나면 대칭 인자 n_i!를 포함해야 한다. 그러나 결국 분배 함수에 대한 파인만 도형 D_k의 각 기여는 다음과 같은 일반적인 형태를 갖는다.

$\prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}$

여기서 i는 가능한 (무수히) 많은 연결된 파인만 도형들을 나타낸다.

D_k에서 Z[J]로의 이러한 기여를 순차적으로 생성하는 방식은 다음에 의해 얻어진다.

$\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots$

따라서 다음을 산출한다.

$Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.$

정규화 Z₀ = exp W[0] = 1를 확립하기 위해 소스 J가 없는 모든 연결된 진공 도형(때때로 파인만 도형의 외부 다리라고 함)을 계산하기만 하면 된다.

연결된 클러스터 정리는 1955년 케이트 브루크너에 의해 4차까지 최초로 증명되었고, 1957년 제프리 골드스톤에 의해 무한 차수까지 증명되었다.

진공 거품

연결된 클러스터 정리의 즉각적인 결과는 상관 함수를 계산할 때 외부선이 없는 도형인 모든 진공 거품이 상쇄된다는 것이다. 상관 함수는 경로 적분의 비율로 주어진다.

$\left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.$

분자는 외부선과 전혀 연결되지 않는 분리된 도형들을 포함하여 모든 파인만 도형의 합이다. 연결된 도형의 관점에서 분자는 분모와 동일한 진공 거품의 기여를 포함한다.

$\int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.$

여기서 E 도형의 합은 각 연결 성분이 적어도 하나의 외부선에서 끝나는 도형들만을 포함한다. 진공 거품은 외부선이 무엇이든 동일하며 전체적인 곱셈 인자를 제공한다. 분모는 모든 진공 거품의 합이며, 이를 나누면 두 번째 인자가 제거된다.

그렇다면 진공 거품은 경로 적분의 정의로부터 다음과 같은 Z 자체를 결정하는 데만 유용하다.

$Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}$

여기서 ρ는 진공의 에너지 밀도이다. 각 진공 거품은 각 꼭짓점에서 총 k를 0으로 만드는 δ(k) 인자를 포함하며, 외부선이 없을 때 이는 운동량 보존이 과도하게 강제되기 때문에 δ(0) 인자를 포함한다. 유한한 부피에서 이 인자는 시공간의 총 부피로 식별될 수 있다. 부피로 나누면 진공 거품에 대한 나머지 적분은 해석을 갖는다. 그것은 진공의 에너지 밀도에 대한 기여이다.

소스

상관 함수는 연결된 파인만 도형의 합이지만, 형식주의는 연결된 도형과 분리된 도형을 다르게 취급한다. 내부선은 꼭짓점에서 끝나고 외부선은 삽입부로 나간다. 소스(source)를 도입하면 한 선이 끝날 수 있는 새로운 꼭짓점을 만들어 형식주의를 통합할 수 있다.

소스는 작용에 기여하지만 동역학적 변수는 아닌 외부장이다. 스칼라장 소스는 (로런츠) 라그랑지언에 항을 기여하는 또 다른 스칼라장 h이다.

$\int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,$

파인만 전개에서 이는 꼭짓점에서 끝나는 하나의 반직선을 가진 H 항을 기여한다. 파인만 도형의 선은 이제 X 꼭짓점에서 끝나거나 H 꼭짓점에서 끝날 수 있으며, H 꼭짓점에는 하나의 선만 들어간다. H 꼭짓점에 대한 파인만 규칙은 운동량 k를 가진 H로부터의 선이 h(k) 인자를 얻는다는 것이다.

소스가 있을 때 연결된 도형의 합은 소스가 없을 때의 각 연결된 도형에 대한 항을 포함하지만, 이제는 도형이 소스에서 끝날 수 있다. 전통적으로 소스는 삽입부와 똑같이 한 선이 뻗어 나온 작은 "×"로 표시된다.

$\log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,$

여기서 C(k₁,...,k_n)은 표시된 대로 운동량을 운반하는 n개의 외부선을 가진 연결된 도형이다. 합은 이전과 같이 모든 연결된 도형에 대한 것이다.

장 h는 동역학적이지 않으며, 이는 h에 대한 경로 적분이 없음을 의미한다. h는 단지 점마다 변하는 라그랑지언의 매개변수일 뿐이다. 장에 대한 경로 적분은 다음과 같다.

$Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,$

그리고 이는 모든 지점에서의 h 값의 함수이다. 이 표현을 해석하는 한 가지 방법은 장 공간에서 푸리에 변환을 취하는 것이다. 만약 Rⁿ에 확률 밀도가 있다면, 확률 밀도의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$\int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,$

푸리에 변환은 진동하는 지수 함수의 기댓값이다. 소스 h(x)가 있을 때의 경로 적분은 다음과 같다.

$Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle$

이는 격자 위에서 각 장 값에 대한 진동 지수 함수의 곱이다.

$\left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle$

델타 함수의 푸리에 변환은 상수이며, 이는 델타 함수에 대한 형식적인 표현을 제공한다.

$\delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk$

이것은 경로 적분에서 장 델타 함수가 어떻게 생겼는지 알려준다. 두 스칼라장 φ와 η에 대해,

$\delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,$

이는 푸리에 변환 좌표인 h에 대해 적분한다. 이 표현은 다차원 적분에서 좌표를 바꿀 때 델타 함수가 사용되는 것과 마찬가지로 경로 적분에서 장 좌표를 형식적으로 바꾸는 데 유용하다.

분배 함수는 이제 장 h의 함수이며, 물리적 분배 함수는 h가 영함수일 때의 값이다.

상관 함수는 소스에 대한 경로 적분의 도함수이다.

$\left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.$

유클리드 공간에서 작용에 대한 소스 기여는 여전히 i 인자와 함께 나타날 수 있으므로 여전히 푸리에 변환을 수행한다.

스핀 ⁠1/2⁠; "광자"와 "유령"

스핀 ⁠1/2⁠: 베레진 적분

장 경로 적분은 페르미 케이스로 확장될 수 있지만 적분의 개념이 확장될 때만 가능하다. 자유 페르미 장의 베레진 적분은 고차원 행렬식 또는 파피안으로, 페르미 장에 적합한 새로운 유형의 가우시안 적분을 정의한다.

베레진 적분의 두 가지 기본 공식은 다음과 같다.

$\int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,$

여기서 M은 임의의 행렬이고 ψ, ψ는 각 인덱스 i에 대한 독립적인 그라스만 변수이다. 그리고

$\int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,$

여기서 A는 반대칭 행렬이고, ψ는 그라스만 변수들의 모임이며, ⁠1/2⁠는 중복 계산을 방지하기 위한 것이다(ψⁱψ^j = −ψ^jψⁱ이므로).

행렬 표기법에서 ψ와 η가 그라스만 값 행 벡터이고, η와 ψ가 그라스만 값 열 벡터이며, M이 실수값 행렬일 때:

$Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,$

여기서 마지막 등호는 그라스만 적분의 이동 불변성(translation invariance)의 결과이다. 그라스만 변수 η는 ψ에 대한 외부 소스이며, η에 대해 미분하면 ψ 인자들이 내려온다.

$\left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}$

다시 도식적인 행렬 표기법이다. 위 공식의 의미는 적절한 성분 η와 η에 대한 미분이 M⁻¹의 행렬 요소를 제공한다는 것이다. 이는 복소 보손 장의 가우시안 적분에 대한 보손 경로 적분 공식과 정확히 유사하다.

$\int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}$

$\left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.$

따라서 전파 인자는 보손과 페르미온의 경우 모두 작용의 이차 부분에 있는 행렬의 역수이다.

실수 그라스만 장, 즉 마요라나 페르미온의 경우, 경로 적분은 파피안과 소스 이차 형식의 곱이며, 공식은 실수 보손 장의 경우와 마찬가지로 행렬식의 제곱근을 제공한다. 전파 인자는 여전히 이차 부분의 역수이다.

자유 디랙 라그랑지언:

$\int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi$

은 일반적인 경로 적분에서의 클라인-고든 라그랑지언이 스칼라장의 운동 방정식과 교환 관계를 주는 것과 마찬가지로, 형식적으로 디랙 장의 운동 방정식과 반교환 관계를 제공한다. 디랙 장의 공간 푸리에 변환을 그라스만 대수의 새로운 기저로 사용함으로써, 디랙 작용의 이차 부분은 반전하기 쉬워진다.

$S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.$

서로 다른 k 값들이 서로 섞이지 않으므로, 전파 인자는 ψ(k)와 ψ(k)를 연결하는 행렬 M의 역수이다.

$\left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}$

윅 정리의 아날로그는 ψ와 ψ를 쌍으로 매칭한다.

$\left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}$

여기서 S는 델타 함수를 만들기 위해 쌍으로 묶인 것들을 서로 나란히 놓도록 ψ와 ψ의 시퀀스를 재정렬하는 치환의 부호이며, 이때 ψ가 ψ 바로 앞에 오도록 한다. ψ, ψ 쌍은 그라스만 대수의 교환 원소이므로 쌍들이 어떤 순서로 있든 상관없다. 하나 이상의 ψ, ψ 쌍이 같은 k를 가지면 적분은 0이며, 이 경우 쌍들에 대한 합이 0을 준다는 것을 쉽게 확인할 수 있다(항상 짝수 개가 있다). 이것이 이전에 보손 윅 정리를 보완했던 고차 가우시안 적률의 그라스만 버전이다.

스핀-⁠1/2⁠ 디랙 입자에 대한 규칙은 다음과 같다. 전파 인자는 디랙 연산자의 역수이며, 선들은 복소 스칼라장의 경우와 마찬가지로 화살표를 가지고, 도형은 각 폐쇄 페르미온 루프마다 전체적으로 −1의 인자를 얻는다. 페르미온 루프가 홀수 개이면 도형의 부호가 바뀐다. 역사적으로 −1 규칙은 파인만이 발견하기 매우 어려웠다. 그는 적절한 그라스만 적분 이론이 부족했기 때문에 긴 시행착오 끝에 이를 발견했다.

이 규칙은 꼭짓점에서의 페르미온 선의 수가 항상 짝수라는 관찰로부터 도출된다. 라그랑지언의 각 항은 항상 보손이어야 한다. 페르미온 루프는 페르미온 선을 따라 시작점으로 돌아올 때까지 추적한 다음 그 선들을 도형에서 제거함으로써 계산된다. 이 과정을 반복하면 결국 모든 페르미온 선이 지워진다. 이것이 그래프를 2-색칠하는 오일러 알고리즘이며, 각 꼭짓점이 짝수 차수일 때 항상 작동한다. 오일러 알고리즘의 단계 수는 라그랑지언의 모든 항이 페르미온 장에 대해 정확히 이차형식인 일반적인 특수 사례에서만 독립적인 페르미온 호몰로지 사이클의 수와 같다. 그래서 각 꼭짓점은 정확히 두 개의 페르미온 선을 가진다. 4-페르미온 상호작용(약한 상호작용의 페르미 유효 이론에서와 같이)이 있을 때는 페르미 루프보다 k-적분이 더 많다. 이 경우 계수 규칙은 각 꼭짓점에서의 페르미 선들을 라그랑지언 항의 보손 인자를 함께 형성하는 쌍으로 묶어 오일러 알고리즘을 적용해야 하며, 꼭짓점에 한 선으로 들어오면 항상 파트너 선으로 나가야 한다.

이 규칙을 명확히 하고 증명하기 위해, 페르미온 장을 가진 라그랑지언 항들인 꼭짓점들로부터 형성된 파인만 도형을 생각해 보자. 전체 항은 보손이며 그라스만 대수의 교환 원소이므로 꼭짓점이 나타나는 순서는 중요하지 않다. 페르미 선들은 루프들로 연결되며, 루프를 순회할 때 부호의 손실 없이 꼭짓점 항들을 차례대로 재정렬할 수 있다. 예외는 시작점으로 돌아왔을 때 마지막 반직선이 연결되지 않은 첫 번째 반직선과 결합해야 하는 경우이다. 이를 위해서는 마지막 ψ를 첫 번째 ψ 앞으로 옮기기 위한 하나의 치환이 필요하며, 이것이 부호를 제공한다.

이 규칙은 내부선에서 배타 원리의 유일하게 가시적인 효과이다. 외부선이 있을 때, 동일한 입자에 대한 두 페르미 삽입이 교환되면 진폭은 반대칭이 된다. 이는 페르미 장의 소스 자체가 그라스만 값을 가지므로 소스 형식주의에서 자동적으로 이루어진다.

스핀 1: 광자

광자에 대한 나이브한 전파 인자는 무한한데, 이는 A-장의 라그랑지언이 다음과 같기 때문이다.

$S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.$

전파 인자를 정의하는 이차 형식은 역행렬이 존재하지 않는다. 그 이유는 장의 게이지 불변성 때문이다. A에 구배(gradient)를 더해도 물리학은 변하지 않는다.

이 문제를 해결하려면 게이지를 고정해야 한다. 가장 편리한 방법은 A의 발산이 어떤 함수 f가 되도록 요구하는 것인데, 이 함수 f의 값은 지점마다 무작위적이다. f의 값에 대해 적분하는 것은 게이지 선택을 결정할 뿐이므로 해가 되지 않는다. 이 절차는 A에 대한 경로 적분에 다음 인자를 삽입한다.

$\int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.$

첫 번째 인자인 델타 함수는 게이지를 고정한다. 두 번째 인자는 동등하지 않은 게이지 고정인 서로 다른 f 값들에 대해 합산한다. 이는 단순히 다음과 같다.

$e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.$

게이지 고정으로부터의 추가적인 기여는 자유 라그랑지언의 두 번째 절반을 상쇄하여 파인만 라그랑지언을 제공한다.

$S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }$

이는 A의 각 성분에 대해 하나씩, 네 개의 독립적인 자유 스칼라장과 같다. 파인만 전파 인자는 다음과 같다.

$\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.$

한 가지 차이점은 로런츠 케이스에서 한 전파 인자의 부호가 틀렸다는 것이다. 시간꼴 성분은 반대 부호 전파 인자를 가진다. 이는 이러한 입자 상태들이 음의 노름을 가짐을 의미하며, 이들은 물리적 상태가 아니다. 광자의 경우, 이러한 상태들이 물리적이지 않음을 도형 방법으로 보여주는 것은 쉽다. 그들의 기여는 종방향 광자와 상쇄되어 어떤 k 값에 대해서도 오직 두 개의 물리적 광자 편광 기여만 남긴다.

f에 대한 평균화가 ⁠1/2⁠과 다른 계수로 수행되면 두 항이 완전히 상쇄되지 않는다. 이는 아무것도 영향을 주지 않는 계수 $\lambda$를 가진 공변 라그랑지언을 제공한다.

$S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)$

QED에 대한 공변 전파 인자는 다음과 같다.

$\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.$

스핀 1: 비가환 유령

비가환 게이지 장에 대한 파인만 규칙을 찾으려면, 경로 적분에서 변수 변환을 설명하기 위해 게이지 고정을 수행하는 절차를 신중하게 수정해야 한다.

게이지 고정 인자는 델타 함수를 터뜨리면서 나오는 추가적인 행렬식을 가진다.

$\delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M$

행렬식의 형태를 찾기 위해, 먼저 각도 θ가 아닌 오직 r에만 의존하는 함수 f의 간단한 2차원 적분을 생각해 보자. θ에 대한 적분을 삽입하면 다음과 같다.

$\int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy$

미분 인자는 θ에서 델타 함수를 터뜨리는 것이 적분을 제거함을 보장한다. 적분 순서를 바꾸면,

$\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy$

하지만 이제 델타 함수가 y에서 터질 수 있다.

$\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.$

θ에 대한 적분은 단지 2π의 전체 인자를 제공하고, θ의 변화에 따른 y의 변화율은 단순히 x이므로, 이 연습은 극좌표 적분에 대한 표준 공식을 재현한다.

$\int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx$

비가환 게이지 장의 경로 적분에서 이와 유사한 조작은 다음과 같다.

$\int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,$

앞의 인자는 게이지 군의 부피이며 상수를 기여하므로 폐기할 수 있다. 나머지 적분은 게이지 고정된 작용에 대한 것이다.

$\int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,$

공변 게이지를 얻기 위해, 게이지 고정 조건은 가환인 경우와 동일하다.

$\partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,$

무한소 게이지 변환 하에서의 그 변동은 다음과 같이 주어진다.

$\partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,$

여기서 α는 무한소 게이지 변환을 수행하는 모든 지점에서의 수반 표현 값을 가진 리 대수 원소이다. 이것이 작용에 파데예프-포포프 행렬식을 추가한다.

$\det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,$

이는 유령장(ghost field)을 도입함으로써 그라스만 적분으로 다시 쓰일 수 있다.

$\int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,$

행렬식은 f와 무관하므로, f에 대한 경로 적분은 가환 사례에서와 같이 f에 대한 측도를 선택함으로써 파인만 전파 인자(또는 공변 전파 인자)를 제공할 수 있다. 전체 게이지 고정된 작용은 유령 작용이 추가된 파인만 게이지에서의 양-밀스 작용이다.

$S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,$

도형은 이 작용으로부터 유도된다. 스핀-1 장에 대한 전파 인자는 일반적인 파인만 형태를 가진다. 결합이 구조 상수인 3차 꼭짓점과 결합이 구조 상수의 곱인 4차 꼭짓점이 있다. 추가적인 유령 루프가 있는데, 이는 A 루프에서 시간꼴 및 종방향 상태를 상쇄한다.

가환 사례에서 공변 게이지에 대한 행렬식은 A에 의존하지 않으므로 유령은 연결된 도형에 기여하지 않는다.

입자 경로 표현

파인만 도형은 원래 파인만이 다른 클래스의 입자 궤적으로부터 산란 행렬에 대한 기여를 나타내는 방법으로서 시행착오를 통해 발견했다.

슈윙거 표현

유클리드 스칼라 전파 인자는 시사하는 바가 큰 표현을 가지고 있다.

${\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau$

이 항등식(기초적인 적분)의 의미는 실제 공간으로 푸리에 변환함으로써 더 명확해진다.

$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}$

전파 인자에 대한 어떤 하나의 τ 값에서의 기여는 너비가 ̀̀√τ인 가우시안이다. 0에서 x까지의 총 전파 함수는 모든 고유 시간 τ에 대한 정규화된 가우시안의 가중 합이며, 이는 시간 τ의 무작위 행보 후에 x에서 끝날 확률이다.

전파 인자에 대한 경로 적분 표현은 다음과 같다.

$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}$

이는 전파 인자의 슈윙거 표현(영어: Schwinger representation)을 경로 적분으로 다시 쓴 것이다.

슈윙거 표현은 전파 인자의 입자 측면을 명시적으로 만드는 데 유용하며, 루프 도형의 분모를 대칭화하는 데도 유용하다.

분모 결합

슈윙거 표현은 루프 도형에 즉각적으로 실용적인 응용이 가능하다. 예를 들어, φ⁴ 이론에서 두 개의 x를 두 개의 반직선으로 함께 연결하고 나머지 선들을 외부선으로 만든 도형에서, 루프 내부의 전파 인자들에 대한 적분은 다음과 같다.

$\int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.$

여기서 한 선은 운동량 k를 운반하고 다른 선은 k + p를 운반한다. 모든 것을 슈윙거 표현으로 바꿈으로써 비대칭성을 해결할 수 있다.

$\int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.$

이제 지수는 주로 t + t′에 의존한다.

$\int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,$

비대칭인 작은 부분만 제외하면 말이다. 변수 u = t + t′와 v = ⁠t′/u⁠를 정의하면, 변수 u는 0에서 ∞까지 가고, v는 0에서 1까지 간다. 변수 u는 루프에 대한 총 고유 시간이고, v는 루프의 위쪽 대 아래쪽 고유 시간의 비율을 매개변수화한다.

이 변수 변환에 대한 야코비 식은 다음 항등식으로부터 쉽게 도출할 수 있다.

$d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,$

그리고 "쐐기곱"을 하면 다음을 얻는다.

$u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,$.

이를 통해 u 적분을 명시적으로 수행할 수 있다.

$\int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv$

v-적분만 남게 된다. 슈윙거가 발명했지만 보통 파인만 덕분으로 여겨지는 이 방법은 분모 결합이라고 불린다. 추상적으로는 다음과 같은 기초적인 항등식이다.

${\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv$

하지만 이 형식은 v를 도입하는 물리적 동기를 제공하지 않는다. v는 루프의 다리 중 하나에 있는 고유 시간의 비율이다.

분모가 결합되면, k를 k′ = k + vp로 이동시켜 모든 것을 대칭화한다.

$\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv$

이 형식은 p²가 루프 내 입자 질량의 4배보다 더 음수가 되는 순간(로런츠 시공간의 물리적 영역에서 발생) 적분에 컷(cut)이 생김을 보여준다. 이는 외부 운동량이 물리적 입자를 생성할 수 있는 바로 그 시점이다.

루프에 더 많은 꼭짓점이 있으면 결합할 분모가 더 많아진다.

$\int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}$

일반 규칙은 n + 1개의 분모에 대한 슈윙거 처방으로부터 도출된다.

${\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.$

슈윙거 매개변수 u_i에 대한 적분은 이전과 같이 총 고유 시간 u = u₀ + u₁ ... + u_n에 대한 적분과 루프의 첫 번째 세그먼트를 제외한 모든 세그먼트에서의 고유 시간 비율 v_i = ⁠u_i/u⁠ (i ∈ {1,2,...,n})에 대한 적분으로 나눌 수 있다. v_i는 양수이고 합이 1보다 작으므로, v 적분은 n차원 심플렉스(simplex)에 대한 것이다.

좌표 변환에 대한 야코비 식은 이전과 같이 계산할 수 있다.

$du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,$

$d(uv_{i})=du_{i}\,.$

이 방정식들을 모두 쐐기곱하면 다음을 얻는다.

$u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.$

이것은 적분을 제공한다.

$\int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,$

여기서 심플렉스는 다음 조건에 의해 정의된 영역이다.

$v_{i}>0\quad {\mbox{및}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1$

또한

$v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.$

u 적분을 수행하면 분모 결합에 대한 일반적인 처방이 제공된다.

${\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}$

피적분 함수의 분자가 관여하지 않으므로, 다리가 어떤 스핀을 운반하든 동일한 처방이 모든 루프에 적용된다. 매개변수 v_i의 해석은 각 다리에서 보내는 총 고유 시간의 비율이다.

산란

양자장론의 상관 함수는 입자의 산란을 설명한다. 상대론적 장론에서 "입자"의 정의는 자명하지 않은데, 콤프턴 파장보다 작게 불확정성을 줄여 위치를 결정하려고 하면 에너지의 불확정성이 커져 진공으로부터 같은 유형의 입자와 반입자를 더 생성할 수 있을 만큼 커지기 때문이다. 이는 단일 입자 상태라는 개념이 공간에 국소화된 대상이라는 개념과 어느 정도 호환되지 않음을 의미한다.

1930년대에 유진 위그너는 단일 입자 상태에 대한 수학적 정의를 제시했다. 그들은 푸앵카레 군의 기약 표현을 형성하는 상태들의 모임이다. 단일 입자 상태는 유한한 질량, 잘 정의된 운동량, 그리고 스핀을 가진 대상을 설명한다. 이 정의는 양성자와 중성자, 전자와 광자에는 괜찮지만, 영구적으로 갇혀 있는 쿼크는 제외하므로 현대적 관점은 더 수용적이다. 입자는 그 상호작용이 입자 궤적의 합으로 해석될 수 있는 파인만 도형의 관점에서 설명될 수 있는 모든 것이다.

장 연산자는 진공으로부터 단일 입자 상태를 생성하도록 작용할 수 있으며, 이는 장 연산자 φ(x)가 위그너 입자 상태의 중첩을 생성함을 의미한다. 자유장 이론에서 장은 단일 입자 상태만을 생성한다. 하지만 상호작용이 있으면 장 연산자는 3-입자, 5-입자(+/− 대칭이 없는 경우 2, 4, 6 입자도 가능) 상태도 생성할 수 있다. 단일 입자 상태에 대해서만 산란 진폭을 계산하려면 장을 무한대로 보내고 공간에 대해 적분하여 고차 보정 항을 제거하는 신중한 극한이 필요하다.

산란과 상관 함수 사이의 관계는 LSZ-축약 공식이다. 산란 이벤트에서 n개의 입자가 m개의 입자로 변하는 산란 진폭은 외부 다리에 대한 전파 인자를 제외하고 n + m개의 장 삽입에 대한 상관 함수에 들어가는 파인만 도형의 합으로 주어진다.

예를 들어, 이전 섹션의 λφ⁴ 상호작용의 경우, (로런츠) 상관 함수에 대한 λ 차수 기여는 다음과 같다.

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,$

외부 전파 인자를 떼어내는 것, 즉 ⁠i/k²⁠ 인자들을 제거하면 불변 산란 진폭 M이 제공된다.

$M=i\lambda \,$

이는 들어오고 나가는 운동량과 무관한 상수이다. 산란 진폭의 해석은 모든 가능한 최종 상태에 대한 |M|²의 합이 산란 이벤트의 확률이라는 것이다. 그러나 M이 상대론적 불변임을 보장하기 위해 단일 입자 상태의 정규화를 신중하게 선택해야 한다.

비상대론적 단일 입자 상태는 운동량 k에 의해 레이블이 지정되며, k의 모든 값에서 동일한 노름을 갖도록 선택된다. 비상대론적 단일 입자 상태에 대한 단위 연산자는 다음과 같기 때문이다.

$\int dk\,|k\rangle \langle k|\,.$

상대론에서 질량 m인 입자에 대한 k-상태에 대한 적분은 에너지-운동량 관계에 의해 정의된 E,k 공간의 쌍곡선에 대해 적분한다.

$E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.$

적분이 각 k 점에 동일한 가중치를 둔다면, 그 측도는 로런츠 불변이 아니다. 불변 측도는 모든 k와 E 값에 대해 적분하되, 로런츠 불변 델타 함수를 사용하여 쌍곡선으로 제한한다.

$\int \delta (E^{2}-k^{2}-m^{2})|E,k\rangle \langle E,k|\,dE\,dk=\int {dk \over 2E}|k\rangle \langle k|\,.$

따라서 정규화된 k-상태는 상대론적으로 정규화된 k-상태와 다음과 같은 인자만큼 차이가 난다.

${\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.$

불변 진폭 M은 상대론적으로 정규화된 들어오는 상태가 상대론적으로 정규화된 나가는 상태가 될 확률 진폭이다.

비상대론적 k 값에 대해 상대론적 정규화는 (상수 인자 ${\sqrt {m}}$를 제외하면) 비상대론적 정규화와 동일하다. 이 극한에서 φ⁴ 불변 산란 진폭은 여전히 상수이다. 장 φ에 의해 생성된 입자들은 모든 방향으로 동일한 진폭으로 산란된다.

모든 방향으로 동일한 진폭으로 산란되는 비상대론적 퍼텐셜(보른 근사에서)은 푸리에 변환이 상수인 퍼텐셜, 즉 델타 함수 퍼텐셜이다. 이 이론의 최저차 산란은 이 이론의 비상대론적 해석을 드러낸다. 그것은 델타 함수 반발을 가진 입자들의 모임을 설명한다. 그러한 두 입자는 같은 시각에 같은 지점을 점유하는 것을 몹시 싫어한다.

비섭동적 효과

파인만 도형을 섭동 급수로 생각하면 터널링과 같은 비섭동적 효과는 나타나지 않는데, 임의의 다항식보다 빠르게 0으로 가는 효과는 테일러 급수에 영향을 주지 않기 때문이다. 결합력은 영원히 지속되어야 하는 반면, 임의의 유한 차수에서는 입자가 유한한 횟수만 교환되기 때문에 결합 상태조차 부재한다.

하지만 이러한 관점은 오해의 소지가 있다. 도형이 산란을 설명할 뿐만 아니라 단거리 장론 상관관계를 표현하기도 하기 때문이다. 그것들은 입자 산란과 같은 점근적 프로세스뿐만 아니라 장의 곱셈 규칙인 연산자 제품 전개도 인코딩한다. 비섭동적 터널링 프로세스는 결합 상수가 작아질 때 평균적으로 커지는 장 구성을 포함하지만, 각 구성은 파인만 도형으로 설명되는 국소적 상호작용을 가진 입자들의 결맞는 중첩이다. 결합이 작을 때, 이들은 많은 수의 입자가 관여하지만 각 입자 사이의 상호작용은 단순한 집단적 프로세스가 된다. (상호작용하는 모든 양자장론의 섭동 급수는 수렴 반경이 0이므로, 사라지는 결합 극한에서 이러한 장 구성을 설명하는 데 필요한 무한한 도형 시리즈의 극한을 복잡하게 만든다)

이는 비섭동적 효과가 무한한 클래스의 도형들의 재합산(resummation)에서 점근적으로 나타나며, 이 도형들은 국소적으로 단순할 수 있음을 의미한다. 그래프는 국소 운동 방정식을 결정하는 반면, 허용된 대규모 구성은 비섭동적 물리학을 설명한다. 그러나 파인만 전파 인자는 시간적으로 비국소적이므로, 장 프로세스를 결맞는 입자 언어로 번역하는 것은 완전히 직관적이지 않으며, 특정한 특별한 경우에만 명시적으로 연구되었다. 비상대론적 결합 상태의 경우, 베테-솔피터 방정식은 상대론적 원자를 설명하기 위해 포함할 도형의 클래스를 설명한다. 양자 색역학의 경우, 시프만-바인슈타인-자하로프 합 규칙은 입자 언어로 비섭동적으로 들뜬 장 파장 모드를 설명하지만 오직 현상론적인 방식이다.

고차 섭동 이론에서 파인만 도형의 수는 매우 많은데, 주어진 노드 수를 가진 그래프만큼 많은 도형이 있기 때문이다. 비섭동적 효과는 고차에서 도형의 수와 재합산이 발산하는 방식에 흔적을 남긴다. 도형에 숨겨진 형태로 비섭동적 효과가 나타나기 때문에, 파인만 묘사만이 유일하게 가능한 많은 경우에서 끈 이론의 비섭동적 효과를 분석할 수 있었다.

대중문화에서

• 가상 입자가 쿼크–반쿼크 쌍을 생성하는 위의 도형 사용은 TV 시트콤 빅뱅 이론의 "The Bat Jar Conjecture" 에피소드에서 다루어졌다.
• 2012년 1월 11일의 PhD Comics는 양자 학술적 상호작용, 즉 박사 과정 학생들이 지도 교수와 상호작용할 때 따르는 경로를 시각화하고 설명하는 파인만 도형을 보여준다.
• 스티븐 백스터의 SF 소설인 "진공 도형"(Vacuum Diagrams)은 제목과 같은 특정 유형의 파인만 도형인 진공 도형을 특징으로 한다.
• 파인만과 그의 아내 그위네스 하워스는 1975년에 닷지 램 밴을 구입하여 파인만 도형을 그려 넣었다. 이 밴은 현재 비디오 게임 디자이너이자 물리학자인 셰이머스 블랙클리가 소유하고 있다. 번호판 ID는 Qantum이었다.

같이 보기

• 각운동량 도형
• 줄리언 슈윙거#슈윙거와 파인만
• 파인만 도형 목록
• 1-루프 파인만 도형
• 경로 적분 공식화
• 펭귄 도형
• 전파 인자
• 슈튀켈베르크-파인만 해석

출처

• Veltman, Martinus J G; 'T Hooft, Gerardus (1973). Diagrammar (보고서). CERN Yellow Report. doi:10.5170/CERN-1973-009. 
• Kaiser, David (2005). 《Drawing theories apart: the dispersion of Feynman diagrams in postwar physics》. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-42266-4. 
• Veltman, Martinus (1994년 6월 16일). 《Diagrammatica: The Path to Feynman Diagrams》. Cambridge Lecture Notes in Physics. ISBN 0-521-45692-4.  (expanded, updated version of 't Hooft & Veltman, 1973, cited above)
• Srednicki, Mark Allen (2006). 《Quantum field theory》 Draft판. Script. Santa Barbara, Calif: University of California, Santa Barbara. 2011년 7월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2011년 1월 28일에 확인함. 
• Schweber, Silvan S. (1994). 《QED and the men who made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga》. Princeton series in physics. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03327-3. 

외부 링크

• AMS article: "What's New in Mathematics: Finite-dimensional Feynman Diagrams"
• Draw Feynman diagrams explained by Flip Tanedo at Quantumdiaries.com
• Drawing Feynman diagrams with FeynDiagram C++ library that produces PostScript output.
• Online Diagram Tool A graphical application for creating publication ready diagrams.
• JaxoDraw A Java program for drawing Feynman diagrams.
• Bowley, Roger; Copeland, Ed (2010). “Feynman Diagrams”. 《Sixty Symbols》. Brady Haran for the University of Nottingham.