내적 공간: 두 판 사이의 차이
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{{다른 뜻 넘어옴|내적|유클리드 공간 위 내적|스칼라곱}} |
{{다른 뜻 넘어옴|내적|유클리드 공간 위 내적|스칼라곱}} |
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[[파일:Inner-product-angle.png|섬네일| |
[[파일:Inner-product-angle.png|섬네일|내적을 사용하여 정의한, 두 벡터 사이의 각도의 기하학적 해석]] |
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[[선형대수학]]에서, '''내적 공간'''(內積空間, {{llang|en|inner product space}})은 두 |
[[선형대수학]]과 [[함수해석학]]에서, '''내적 공간'''(內積空間, {{llang|en|inner product space}})은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 [[벡터 공간]]이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 [[길이]]나 [[각도]] 등의 개념을 다룰 수 있다. [[스칼라 곱]]을 갖춘 [[유클리드 공간]]의 일반화이다. |
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==정의== |
==정의== |
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<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자. |
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체 F 상의 벡터 공간 V에 [[정부호]] [[비퇴화 쌍선형 형식|비퇴화]] [[정반선형 형식]] <·,·>이 주어지면 이 공간을 '''내적 공간'''이라 하고, <·,·>를 '''내적'''이라 한다. 이는 실수 벡터 공간에 대해서는 정부호 [[비퇴화 쌍선형 형식|비퇴화]] [[대칭 쌍선형 형식]]이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다. |
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<math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''내적'''(內積, {{llang|en|inner product}})은 [[양의 정부호]] [[에르미트 반쌍선형 형식]]이다. ([[실수]]의 경우 이는 [[양의 정부호]] [[대칭 쌍선형 형식]]과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]] |
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'''내적'''이란 함수 |
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:<math> |
:<math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb K</math> |
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:<math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon(u,v)\mapsto\langle u,v\rangle</math> |
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로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다. |
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이다. |
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*[[복소켤레|켤레]] 대칭성: |
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* ([[양의 정부호성]]) 임의의 <math>0\ne v\in V</math>에 대하여, <math>\langle v,v\rangle>0</math> |
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* ([[에르미트성]]) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}</math> |
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* (왼쪽 [[선형 변환|선형성]]) 임의의 <math>a,b\in\mathbb K</math> 및 <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle</math> |
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*첫 번째 변수에 대한 [[선형성]]: |
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이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다. |
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::<math>\langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle</math> |
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* (오른쪽 [[반쌍선형성]]) 임의의 <math>a,b\in K</math> 및 <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>\langle w,au+bv\rangle=\bar a\langle w,u\rangle+\bar b\langle w,v\rangle</math> |
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내적이 주어진 <math>\mathbb K</math>-벡터 공간 <math>(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>을 '''<math>\mathbb K</math>-내적 공간'''이라고 한다. |
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:이 조건을 위의 켤레 대칭성 조건과 함께 이용해서 다음을 얻을 수 있다. |
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::<math>\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle</math> |
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::<math>\langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle</math> |
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:따라서 <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>는 정반선형 형식이 된다. |
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*음이 아님: |
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::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math> |
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:(이는 V의 임의의 원소 x에 대해 <math> \langle x,x\rangle \in \mathbb{R} </math>이기에 의미를 갖는다.) |
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*[[비퇴화 쌍선형 형식|비퇴화성]]: |
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::<math>\langle x,x \rangle = 0</math>이면 <math>x=0</math> |
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== |
== 성질 == |
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=== 극화 항등식 === |
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*[[벡터곱]] |
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<math>\mathbb K</math>-내적 공간 <math>V</math> 위에 자연스러운 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] 구조를 다음과 같이 줄 수 있다. |
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*[[외대수]] |
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:<math>\Vert v\Vert=\sqrt{\langle v,v\rangle}</math> |
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*[[쌍선형 형식]] |
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{{proof}} |
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*[[쌍대공간]] |
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노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 [[삼각 부등식]]은 [[코시-슈바르츠 부등식]]의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 <math>u,v\in V</math>에 대하여, |
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:<math>\begin{align}\Vert u+v\Vert^2 |
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&=\Vert u\Vert^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\Vert v\Vert^2\\ |
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&\le\Vert u\Vert^2+2\Vert u\Vert\Vert v\Vert+\Vert v\Vert^2\\ |
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&=(\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)^2 |
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\end{align}</math> |
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이므로, |
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:<math>\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert</math> |
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{{end proof}} |
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반대로, <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이 <math>\mathbb K</math>-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 [[평행 사변형 법칙]] |
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:<math>2\Vert u\Vert^2+2\Vert v\Vert^2=\Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2\qquad\forall u,v\in V</math> |
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이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 '''극화 항등식'''(極化恒等式, {{llang|en|polarization identity}})이라고 한다. |
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:<math>\langle u,v\rangle=\begin{cases} |
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\frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2&\mathbb K=\mathbb R\\ |
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\frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2+\frac i4\Vert u+iv\Vert^2-\frac i4\Vert u-iv\Vert^2&\mathbb K=\mathbb C |
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\end{cases}</math> |
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{{proof}} |
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실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다. |
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:<math>\langle v,v\rangle>0\qquad\forall0\ne v\in V</math> |
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:<math>\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle\qquad\forall u,v\in V</math> |
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:<math>\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle\qquad\forall u,v,w\in V</math> |
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:<math>\langle au,v\rangle=a\langle u,v\rangle\qquad\forall a\in\mathbb R,\;u,v\in V</math> |
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첫째와 둘째 조건은 자명하다. 셋째 조건은 다음과 같이 증명된다. |
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:<math>\begin{align}\langle u+v,w\rangle |
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&=\frac14(\Vert u+v+w\Vert^2-\Vert u+v-w\Vert^2)\\ |
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&=\frac14\left(\Vert u+w\Vert^2+\Vert v+w\Vert^2+\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2-\frac12\Vert u-v+w\Vert^2-\frac12\Vert v-u+w\Vert^2\right)\\ |
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&\qquad-\frac14\left(\Vert u-w\Vert^2+\Vert v-w\Vert^2+\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2-\frac12\Vert u-v-w\Vert^2-\frac12\Vert v-u-w\Vert^2\right)\\ |
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&=\frac14(\Vert u+w\Vert^2-\Vert u-v\Vert^2)-\frac14(\Vert v+w\Vert^2-\Vert v-w\Vert^2)\\ |
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&=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle |
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\end{align}</math> |
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넷째 조건의 <math>a\in\mathbb N</math>의 경우는 다음과 같이 증명된다. |
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:<math>\langle au,v\rangle=\langle\underbrace{u+\cdots+u}_a,v\rangle=\underbrace{\langle u,v\rangle+\cdots+\langle u,v\rangle}_a=a\langle u,v\rangle</math> |
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또한, <math>a\in\mathbb Z</math>일 경우의 증명은 다음과 같다. |
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:<math>0=\langle 0,v\rangle=\langle au-au,v\rangle=\langle au,v\rangle+\langle-au,v\rangle=\langle au,v\rangle-a\langle u,v\rangle</math> |
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만약 <math>a\in\mathbb Q</math>일 경우, <math>a=p/q</math> (<math>p,q\in\mathbb Z,\;q\ne0</math>)이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 증명된다. |
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:<math>q\langle au,v\rangle=\langle qau,v\rangle=\langle pu,v\rangle=p\langle u,v\rangle</math> |
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마지막으로, <math>a\in\mathbb R</math>일 경우는 <math>u,v\in V</math>를 고정하였을 때 <math>a\mapsto\langle au,v\rangle-a\langle u,v\rangle</math>가 연속 함수임에 따라 성립한다. |
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{{end proof}} |
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=== 코시-슈바르츠 부등식 === |
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{{본문|코시-슈바르츠 부등식}} |
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내적 공간 <math>V</math>의 벡터 <math>v\in V</math>에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 '''[[코시-슈바르츠 부등식]]'''이라고 한다. |
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:<math>|\langle u,v\rangle|\le\Vert u\Vert\Vert v\Vert</math> |
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:<math>|\langle u,v\rangle|=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\iff\operatorname{rank}\{u,v\}<2</math> |
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이에 따라, 두 벡터 <math>u,v\in V</math> 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다. |
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:<math>\arccos\frac{\operatorname{Re}\langle u,v\rangle}{\Vert u\Vert\Vert v\Vert}</math> |
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또한, 내적이 유도하는 노름의 [[삼각 부등식]]은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다. |
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=== 정규 직교 기저 === |
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{{다른 뜻|정규 직교 기저||힐베르트 공간의 개념}} |
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내적 공간 <math>V</math>의 '''정규 직교 기저'''(正規直交基底, {{llang|en|orthonormal basis}})는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 [[기저 (선형대수학)|기저]]이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 <math>B\subseteq V</math>이다. |
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* (직교성) 만약 <math>e,e'\in B</math>이며 <math>e\ne e'</math>라면, <math>\langle e,e'\rangle=0</math> |
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* (정규성) 임의의 <math>e\in B</math>에 대하여, <math>\Vert e\Vert=1</math> |
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유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 [[그람-슈미트 과정]]을 통해 구성할 수 있다. |
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내적 공간 <math>V</math>의 벡터 <math>v\in V</math>의 정규 직교 기저 <math>B</math>에 대한 좌표는 다음과 같다. |
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:<math>v=\sum_{e\in B}\langle v,e\rangle e</math> |
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또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다. |
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:<math>\langle u,v\rangle=\sum_{e\in B}\langle u,e\rangle\overline{\langle v,e\rangle}</math> |
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내적 공간 <math>V</math> 속의 유한 정규 직교 집합 <math>S\subseteq V\setminus\{0\}</math> 및 벡터 <math>v\in V</math>에 대하여, [[베셀 부등식]]과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다. |
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:<math>\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2\le\Vert v\Vert^2</math> |
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:<math>\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2=\Vert v\Vert^2\iff v=\sum_{e\in S}\langle v,e\rangle e</math> |
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=== 선형 범함수 === |
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유한 차원 내적 공간 <math>V</math>의 모든 [[선형 범함수]]는 어떤 유일한 고정된 벡터 <math>v\in V</math>와의 내적 |
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:<math>V\to\mathbb K</math> |
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:<math>u\mapsto\langle u,v\rangle</math> |
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이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 <math>B\subseteq V</math>가 주어졌을 때, 선형 범함수 <math>f\colon V\to F</math>를 나타내는 벡터는 다음과 같다. |
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:<math>v=\sum_{e\in B}\overline{f(e)}e</math> |
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이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>의 [[수반 선형 변환]] <math>T^*\colon V\to V</math>은 다음과 같이 항상 존재한다. |
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:<math>\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle\qquad\forall u,v\in V</math> |
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그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, [[다항식환]] <math>\mathbb C[x]</math>에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. |
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:<math>\langle p,q\rangle=\int_a^b p(x)\overline{q(x)}dx=\sum_{k=0}^{\deg p}\sum_{k'=0}^{\deg q}\frac{p_k\overline{q_{k'}}}{k+k'+1}</math> |
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이 경우, 임의의 <math>c\in\mathbb C</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다. |
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:<math>\mathbb C[x]\to\mathbb C</math> |
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:<math>p\mapsto p(c)</math> |
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또한 미분 선형 변환 |
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:<math>D\colon\mathbb C[x]\to\mathbb C[x]</math> |
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:<math>D\colon x^n\mapsto nx^{n-1}\qquad n=0,1,2,\dots</math> |
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의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다. |
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== 예 == |
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=== 유클리드 공간 === |
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[[유클리드 공간]] 또는 [[유니터리 공간]] <math>\mathbb K^n</math>의 표준적인 내적은 다음과 같다. 유클리드 공간의 경우 이를 [[스칼라 곱]]이라고 한다. |
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:<math>\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^nx_k\overline{y_k}</math> |
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이 내적이 유도하는 노름은 [[l2 노름|ℓ<sup>2</sup> 노름]]이다. 그러나 <math>p\ne2</math>의 경우, [[lp 노름|ℓ<sup>p</sup> 노름]]은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다. |
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마찬가지로, 실수 또는 복소수 행렬의 공간 <math>\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb K)</math>에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. |
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:<math>\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(X^\operatorname T\bar Y)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nX_{ij}\overline{Y_{ij}}</math> |
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보다 일반적으로, 만약 <math>M</math>이 [[양의 정부호 행렬]]일 경우, <math>\mathbb K^n</math>에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. |
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:<math>\langle x,y\rangle=x^\operatorname TM\bar y=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nM_{ij}x_i\overline{y_j}</math> |
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=== 함수 공간 === |
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[[연속 함수]]의 공간 <math>\mathcal C([a,b];\mathbb K)</math>에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다. |
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:<math>\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}dx</math> |
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또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다. |
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:<math>\langle f,g\rangle=\int_a^bx^2f(x)\overline{g(x)}dx</math> |
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== 같이 보기 == |
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* [[벡터곱]] |
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* [[외대수]] |
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* [[쌍선형 형식]] |
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* [[쌍대공간]] |
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== 참고 문헌 == |
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* {{서적 인용|성=Hoffman|이름=Kenneth|날짜=1971-04-01|제목=Linear Algebra|언어=en|판=2|출판사=Prentice Hall|isbn=0-13-536797-2}} |
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== 외부 링크 == |
== 외부 링크 == |
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* {{eom|title=Inner product}} |
* {{eom|title=Inner product}} |
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* {{매스월드|id=InnerProductSpace|title=Inner product space}} |
* {{매스월드|id=InnerProductSpace|title=Inner product space}} |
||
* {{매스월드|id=InnerProduct|title=Inner product}} |
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* {{플래닛매스|urlname=InnerProductSpace|title=Inner product space}} |
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* {{플래닛매스|urlname=innerproduct|title=Inner product}} |
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* {{nlab|id=inner product space|title=Inner product space}} |
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* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/21792/norms-induced-by-inner-products-and-the-parallelogram-law|제목=Norms Induced by Inner Products and the Parallelogram Law|웹사이트=Stack Exchange|언어=en}} |
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[[분류:노름 공간]] |
[[분류:노름 공간]] |
2018년 2월 3일 (토) 07:35 판
선형대수학과 함수해석학에서, 내적 공간(內積空間, 영어: inner product space)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라 곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다.
정의
-벡터 공간 위의 내적(內積, 영어: inner product)은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이다. (실수의 경우 이는 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 함수
이다.
이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.
- (오른쪽 반쌍선형성) 임의의 및 에 대하여,
내적이 주어진 -벡터 공간 을 -내적 공간이라고 한다.
성질
극화 항등식
-내적 공간 위에 자연스러운 -노름 공간 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.
증명:
노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 에 대하여,
이므로,
반대로, -노름 공간이 -내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 평행 사변형 법칙
이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 극화 항등식(極化恒等式, 영어: polarization identity)이라고 한다.
증명:
실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다.
첫째와 둘째 조건은 자명하다. 셋째 조건은 다음과 같이 증명된다.
넷째 조건의 의 경우는 다음과 같이 증명된다.
또한, 일 경우의 증명은 다음과 같다.
만약 일 경우, ()이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 증명된다.
마지막으로, 일 경우는 를 고정하였을 때 가 연속 함수임에 따라 성립한다.
코시-슈바르츠 부등식
내적 공간 의 벡터 에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 코시-슈바르츠 부등식이라고 한다.
이에 따라, 두 벡터 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다.
또한, 내적이 유도하는 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.
정규 직교 기저
내적 공간 의 정규 직교 기저(正規直交基底, 영어: orthonormal basis)는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 기저이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 이다.
- (직교성) 만약 이며 라면,
- (정규성) 임의의 에 대하여,
유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 그람-슈미트 과정을 통해 구성할 수 있다.
내적 공간 의 벡터 의 정규 직교 기저 에 대한 좌표는 다음과 같다.
또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
내적 공간 속의 유한 정규 직교 집합 및 벡터 에 대하여, 베셀 부등식과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다.
선형 범함수
유한 차원 내적 공간 의 모든 선형 범함수는 어떤 유일한 고정된 벡터 와의 내적
이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 가 주어졌을 때, 선형 범함수 를 나타내는 벡터는 다음과 같다.
이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 의 수반 선형 변환 은 다음과 같이 항상 존재한다.
그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
이 경우, 임의의 가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다.
또한 미분 선형 변환
의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.
예
유클리드 공간
유클리드 공간 또는 유니터리 공간 의 표준적인 내적은 다음과 같다. 유클리드 공간의 경우 이를 스칼라 곱이라고 한다.
이 내적이 유도하는 노름은 ℓ2 노름이다. 그러나 의 경우, ℓp 노름은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다.
마찬가지로, 실수 또는 복소수 행렬의 공간 에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
보다 일반적으로, 만약 이 양의 정부호 행렬일 경우, 에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
함수 공간
연속 함수의 공간 에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다.
같이 보기
참고 문헌
- Hoffman, Kenneth (1971년 4월 1일). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 0-13-536797-2.
외부 링크
- “Inner product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner product space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Inner product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Inner product space”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Inner product”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Inner product space”. 《nLab》 (영어).
- “Norms Induced by Inner Products and the Parallelogram Law”. 《Stack Exchange》 (영어).