전기적 위치 에너지

전기적 위치 에너지(電氣的位置energy, electric potential energy)는 정의된 물리 계 안에 놓인 전하 사이에서 발생하는 정전기력이 변화 발생하는 위치 에너지이다. 국제 단위는 다른 에너지의 종류와 마찬가지로 줄이다. 전기적 위치 에너지는 볼트를 단위로 하는 전위와 같은 개념이다.

정의

점전하 Q 가 만들어 내는 전기장 E 에 또 다른 점전하 q가 놓여 있을 경우, 두 점전하는 정전기력에 의해 위치가 변화하게 된다. Q 의 상대적 위치를 원점으로 하여 q 의 위치 변화만을 계산할 때, 최초 위치를 r_ref, 변화된 위치를 r이라 하면 q 의 전위 에너지 변화는 다음의 선적분에 의해 계산할 수 있다.. 이 때, 전기장은 점전하에서 모든 방향으로 균등하게 방사되며 변화가 없다고 가정한다.

$U_{E}(r_{\rm {ref}})-U_{E}(r)=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-q\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

• r = 3차원 공간에서 r은 r = (x, y, z)의 위치에서 r = |r| 의 크기를 같는 위치 벡터이다.
• $\scriptstyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}$ 점전하 q 가 r_ref 에서 r로 이동하였음을 의미한다.
• F 는 Q에 의해 q 에 가해진 힘이다.
• E 는 Q에 의한 전기장이다.

일반적으로 U_E 를 0 으로, r_ref을 무한대로 놓아 다음과 같이 표기한다.

$U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0$

따라서,

$-U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-q\int _{\infty }^{r}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$

가 되고, 이 때 E, F, r은 모두 Q 에 의해 방사상으로 이끌리고, F와 dr은 역평행이어야 하므로,

$\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =|\mathbf {F} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {r} |\cos(\pi )=-F\mathrm {d} r$

이다.

쿨롱의 법칙에 따라

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}$

이므로, 적분을 간단히 하면:

$U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}{\rm {d}}r={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}$

이 된다.

국제단위계에서 쿨롱 상수는

$k_{e}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ (이때, $\varepsilon _{0}$ 는 진공의 유전율)

이므로 다음과 같이 표시하기도 한다.

$U_{E}(r)=k_{e}{\frac {qQ}{r}}$

즉, 점전하 Q가 만들어 내는 전기장 E에 놓인 점전하 q가 r 만큼 위치가 변화하였을 때의 에너지는 두 점전하 사이의 거리에 반비례하고 전하량의 곱에 비례한다.

전기 에너지 밀도

어떤 계가 가지고 있는 전기 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$U=\sum _{i>j}{\frac {kq_{i}q_{j}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {kq_{i}q_{j}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum q_{i}V_{i}$

연속적인 전하분포 $\rho (\mathbf {r} )$에 의한 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$U={\frac {1}{2}}\int \rho Vd\tau ={\frac {1}{2}}\int (\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} )Vd\tau ={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left[-\int \mathbf {E} \cdot (\nabla V)d\tau +\oint V\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} \right]={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left[\int _{\mathcal {V}}E^{2}d\tau +\oint _{\mathcal {S}}V\mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} \right]$

여기서 ${\mathcal {S}}$는 ${\mathcal {V}}$의 경계면이다. 그런데 ${\mathcal {V}}$를 무한대로 보내면 ${\mathcal {S}}$에서 $\mathbf {E}$와 $V$모두 $0$에 수렴하므로 위 적분은 다음과 같이 나타내어진다.

$U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{\mathcal {V}}E^{2}d\tau$

따라서 전기 에너지 밀도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$u_{E}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}$

같이 보기

• 전위