파라콤팩트 공간: 두 판 사이의 차이
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1940년에 존 윌더 튜키({{llang|en|John Wilder Tukey}})는 "완전 정규 공간"({{llang|en|fully normal space}})이라는 개념을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John W.|성=Tukey|제목=Convergence and Uniformity in Topology|총서=Annals of Mathematics Studies|권=2|출판사=Princeton University Press|날짜=1940|mr=0002515|언어고리=en}}</ref><ref name="SS">{{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어고리=en}}</ref>{{rp|165}} 1944년에 [[프랑스]]의 수학자 [[장 디외도네]]는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|날짜=1944|제목=Une généralisation des espaces compacts|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)|권=23|쪽=65–76|issn=0021-7824|mr=0013297|언어고리=fr}}</ref><ref name="SS"/>{{rp|165}} 1948년에 아서 해럴드 스톤({{llang|en|Arthur Harold Stone}})은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 서로 [[동치]]임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Paracompactness and product spaces|이름=A. H.|성=Stone|mr=0026802|zbl=0032.31403|doi=10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 |issn= |
1940년에 존 윌더 튜키({{llang|en|John Wilder Tukey}})는 "완전 정규 공간"({{llang|en|fully normal space}})이라는 개념을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John W.|성=Tukey|제목=Convergence and Uniformity in Topology|총서=Annals of Mathematics Studies|권=2|출판사=Princeton University Press|날짜=1940|mr=0002515|언어고리=en}}</ref><ref name="SS">{{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어고리=en}}</ref>{{rp|165}} 1944년에 [[프랑스]]의 수학자 [[장 디외도네]]는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dieudonné|이름=Jean|날짜=1944|제목=Une généralisation des espaces compacts|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)|권=23|쪽=65–76|issn=0021-7824|mr=0013297|언어고리=fr}}</ref><ref name="SS"/>{{rp|165}} 1948년에 아서 해럴드 스톤({{llang|en|Arthur Harold Stone}})은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 서로 [[동치]]임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Paracompactness and product spaces|이름=A. H.|성=Stone|mr=0026802|zbl=0032.31403|doi=10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 |issn= 0273-0979|언어고리=en}}</ref><ref name="SS"/>{{rp|165}} |
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모리타의 정리는 모리타 기이치({{ja-y|森田 紀一|もりた きいち}})가 1948년에 증명하였다.<ref name="Morita">{{저널 인용|이름=K.|성=Morita|제목= |
모리타의 정리는 모리타 기이치({{ja-y|森田 紀一|もりた きいち}})가 1948년에 증명하였다.<ref name="Morita">{{저널 인용|이름=K.|성=Morita|제목= |
2015년 11월 29일 (일) 15:53 판
일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 위상 공간으로서, 콤팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학 및 미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 단위 분할 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식의 적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.[1]:68
정의
파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.[1]:68
X의 열린 덮개 가 국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 가 존재하여 유한 개의 에 대해서만 을 만족한다는 의미이다.[1]:68
성질
파라콤팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.
- 콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- 파라콤팩트 공간은 메조콤팩트 공간이자 준파라콤팩트 공간이다.
- 파라콤팩트인 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
- 준파라콤팩트인 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- 파라콤팩트 공간의 닫힌 부분 공간은 파라콤팩트 공간이다.[2]:254
- 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.[2]:260
- 국소 콤팩트 연결 위상군은 파라콤팩트 공간이다.[2]:261
한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.[2]:253
하우스도르프 파라콤팩트 공간
파라콤팩트 공간에 하우스도르프 공간의 조건을 추가하면, 다음과 같이 여러 유용한 성질들이 성립한다.
- (디외도네의 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 T4 공간이다.[2]:253
- (모리타의 정리) T4 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.[3][2]:257
- 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, 정칙 공간 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
- (스미르노프 거리화 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간의 조건은 거리화 가능 공간 조건과 동치이다.[2]:261
- 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 완전사상이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.[2]:260
- T4 공간의 유한 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.[2]:260
- T4 공간 속의 가산 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 내부가 이루는 집합족이 X의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.[2]:260
역사
1940년에 존 윌더 튜키(영어: John Wilder Tukey)는 "완전 정규 공간"(영어: fully normal space)이라는 개념을 정의하였다.[4][5]:165 1944년에 프랑스의 수학자 장 디외도네는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.[6][5]:165 1948년에 아서 해럴드 스톤(영어: Arthur Harold Stone)은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 서로 동치임을 증명하였다.[7][5]:165
모리타의 정리는 모리타 기이치(틀:Ja-y)가 1948년에 증명하였다.[3][5]:165
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 조용승 (2010). 《위상수학》. 경문사.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 Munkres, James R. (2000). 《Topology》. Prentice Hall.
- ↑ 가 나 Morita, K. (1948). “Star-finite coverings and the star-finite property”. 《Mathematica Japonicae》 1: 60-68.
- ↑ Tukey, John W. (1940). “Convergence and Uniformity in Topology”. Annals of Mathematics Studies 2. Princeton University Press. MR 0002515.
- ↑ 가 나 다 라 Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
- ↑ Dieudonné, Jean (1944). “Une généralisation des espaces compacts”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. ISSN 0021-7824. MR 0013297.
- ↑ Stone, A. H. “Paracompactness and product spaces”. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09118-2. ISSN 0273-0979. MR 0026802. Zbl 0032.31403.
바깥 고리
- “Paracompact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Paracompact space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Paracompact topological space”. 《nLab》 (영어).
- “Paracompact space”.
- “Cartesian products of two paracompact spaces”. 2012년 11월 8일.