정칙 공간

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위상 공간분리공리
T0 콜모고로프 공간
T1  
T2 하우스도르프 공간
T 우리손 공간
완전 T 완비 하우스도르프 공간
T3 정칙 하우스도르프 공간
T 티호노프 공간
T4 정규 하우스도르프 공간
T5 완비 정규 하우스도르프 공간
T6 완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서, 정칙 공간(正則空間, 영어: regular space)은 서로소인 점과 닫힌집합을 각각을 포함하는 서로소 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

정칙 공간의 정의

위상 공간 부분 집합 가 스스로의 폐포내부와 일치한다면 () 정칙 열린집합(正則-集合, 영어: regular open set)이라고 한다.

위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 정칙 공간이라고 한다.

  • (점과 닫힌집합의 분리) 임의의 닫힌집합 와 점 에 대하여, 가 되게 하는 열린집합 가 존재한다.
  • 임의의 점 에 대하여, 의 정칙 열린 근방들은 국소 기저를 이룬다.
  • 임의의 점 에 대하여, 의 닫힌 근방들은 국소 기저를 이룬다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

정칙 하우스도르프 공간은 우리손 공간이다. 완비 정칙 공간은 정칙 공간이다.

정칙 하우스도르프 공간과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.

하우스도르프 조건과의 관계[편집]

정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정칙 하우스도르프 공간T3 공간(영어: T3 space)이라고 부르기도 한다.

연산에 대한 닫힘[편집]

정칙 공간의 부분 집합은 항상 정칙 공간이다. (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 곱공간은 정칙 공간이다. 또한, (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 상자곱은 정칙 공간이다.

크기[편집]

정칙 하우스도르프 공간비가산 집합이거나 아니면 완전 분리 공간이다.

증명:

가 가산 정칙 공간이라고 하자. 그렇다면, 가산 위상 공간은 (자명하게) 린델뢰프 공간이며, 정칙 린델뢰프 공간은 정규 공간이므로, 정규 공간이며, 특히 완비 하우스도르프 공간이다.

공집합은 정의에 따라 연결 공간이 아니다. 만약 의 크기가 2 이상이라면 서로 다른 두 점 를 고를 수 있으며, 완비 하우스도르프 공간의 조건에 의하여 , 연속 함수 을 찾을 수 있다. 가산 집합이므로 를 고를 수 있다. 그렇다면 이므로, 는 두 서로소 열린집합으로 분해되며, 따라서 연결 공간이 아니다.

보다 일반적으로, 의 모든 부분 공간은 가산 정칙 공간이며, 따라서 한원소 집합이 아니라면 연결 공간이 될 수 없다. 따라서 연결 성분들은 모두 한원소 집합이며, 완전 분리 공간이다.

정칙 열린집합[편집]

정칙 공간의 정칙 열린집합들의 족은 기저를 이룬다. 그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다 (즉, 정칙 열린집합들이 기저를 이루지만 정칙 공간이 아닌 위상 공간이 존재한다).

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정칙 공간이 아닌 하우스도르프 공간의 예는 다음을 들 수 있다. 실수의 집합 에, 다음과 같은 집합들을 기저로 하는 위상을 정의하자.

여기서 는 실수의 표준적인 위상에서의 열린 집합들의 모임이다. 그렇다면, 이 비표준 위상을 준 실수 집합은 하우스도르프 공간이지만 정칙 공간이 아니다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]