집합론에서 점류(點類, 영어: pointclass)는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.
구체적 범주
가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주
위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Pow} \colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cda26867d913374108070865e7481d1a6c7c915)
![{\displaystyle \operatorname {Pow} \colon X\mapsto \operatorname {Pow} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d017e1a0a42d562643fc1772af497bf948718a35)
![{\displaystyle \operatorname {Pow} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{-1}\colon \operatorname {Pow} (Y)\to \operatorname {Pow} (X)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b87b7346c2db77b38d69deb315f8e1a614e139)
그렇다면,
는
위의 준층을 이룬다.
의 부분 준층을
위의 점류라고 한다. 즉, 구체적으로 점류
는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 임의의 대상
에 대하여, 집합족 ![{\displaystyle \Gamma (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b78dedf361ad8048431a0adfcc4e33989e65d33)
- 또한, 임의의 부분 집합
및 사상
에 대하여, 만약
라면
이다.
구체적 범주
위의 점류
에 대하여,
는 다음과 같은 점류이다.
![{\displaystyle {\check {\Gamma }}(X)=X\setminus \Gamma (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f40045d028cba176584979499e03146e0a4ba0)
이를
의 쌍대 점류(雙對點類, 영어: dual pointclass)라고 한다.[1]:167, §22.A 또한,
위의 점류들의 집합
에 대하여,
![{\displaystyle \bigcap _{i\in I}\Gamma _{i}\colon X\mapsto \bigcap _{i\in i}\Gamma _{i}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd455f9d454fa82955800d43bcc9678f6d7c9db)
![{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\Gamma _{i}\colon X\mapsto \bigcup _{i\in i}\Gamma _{i}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbcd309697a4e35ba451db5cb5dca90295fb8f5)
역시 점류이다. 특히,
를
의 모호 점류(模糊點類, 영어: ambiguous pointclass)라고 한다.[1]:167, §22.A[2]:114, §3D
흔히
가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주
이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주
를 사용한다.
임의의 기수
및 점류
에 대하여, 다음 조건이 성립한다면,
가
미만 합집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.
- 임의의 대상
및
에 대하여, 만약
라면
이다.
임의의 기수
및 점류
에 대하여, 다음 조건이 성립한다면,
가
미만 교집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.
- 임의의 대상
및
에 대하여, 만약
라면
이다.
만약
라면,
가 여집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.
폴란드 공간의 점류[편집]
가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주
인 경우를 생각하자.
위의 점류
에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.
- 임의의 폴란드 공간
및 집합렬
에 대하여,
이라면,
가 합리적 점류(合理的點類, 영어: reasonable pointclass)라고 한다.:171, §22.C (여기서
은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.)
위의 점류
및 기수
가 다음 조건을 만족시킨다면,
가
-분리 성질(영어:
-separation property)을 만족시킨다고 한다.[1]:170, Definition 22.14
- 임의의 폴란드 공간
및 임의의 집합족
에 대하여, 만약
이며
이라면,
이자
인
가 존재한다.
위의 점류
및 기수
가 다음 조건을 만족시킨다면,
-축소 성질(영어:
-reduction property)을 만족시킨다고 한다.[1]:170, Definition 22.14
- 임의의 폴란드 공간
및 임의의 집합족
에 대하여, 만약
이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족
가 존재한다.
![{\displaystyle \forall i\in I\colon B_{i}\subseteq A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479ab384acea82d1c1b4a5da40021e0aeadb678d)
![{\displaystyle \forall i,j\in I\colon i\neq j\implies B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9f0cd88bbb9cd0060cf06c4ce3dc0edb11467b)
![{\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}B_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1929e426ed8d84f6b7703172c2c3c7af19f864e)
위의 점류
가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면,
는 가산 분리 성질을 갖는다.
균등화 성질[편집]
집합
(푸른색)의 균등화
(붉은색)
집합
,
및 부분 집합
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 균등화 집합(영어: uniformizing set)
은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.
- 임의의
에 대하여,
인
가 유일하게 존재한다.
폴란드 공간
가 주어졌을 때,
위의 점류
가 다음 조건을 만족시킨다면,
-균등화 성질(
-均等化性質, 영어:
-uniformization property)을 만족시킨다고 한다.
- 임의의 폴란드 공간
과 부분 집합
에 대하여,
의 균등화
가 존재한다.
모든 폴란드 공간
에 대하여
-균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, 균등화 성질을 만족시킨다고 한다.
그렇다면,
위의 점류
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
- 합리적이며,
-균등화 성질을 갖는다. (
은 가산 무한 이산 공간이다.)
계급 점류[편집]
구체적 범주
위의 점류
와 폴란드 공간
및 그 부분 집합
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수
에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는,
위의 두 이항 관계
,
가 존재한다면,
가
위의
-계급 함수(
-階級函數, 영어:
-rank)라고 한다.
![{\displaystyle \leq _{\phi }^{\Gamma }\in \Gamma (X^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704f7158ff1f72d0633414db5170fec4a335673f)
![{\displaystyle \leq _{\phi }^{\check {\Gamma }}\in {\check {\Gamma }}(X^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4303f4d556040fc750c033401510eed2eac18c)
- 임의의
및
에 대하여,
이다.
위의 점류
가 다음 조건을 만족시킨다면, 계급 점류(영어: ranked pointclass)라고 한다.[1]:171, Definition 22.14
- 임의의 폴란드 공간
및
에 대하여,
-계급 함수가 존재한다.
계급 점류
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉,
이다.
- 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
그렇다면,
는 가산 축소 성질과
-균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.
폴란드 공간
의 부분 집합
위의 계급 함수의 열
이 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금(영어: scale)이라고 한다.
속의 임의의 점렬
에 대하여, 만약
는
속에서
로 수렴하며,
이 되는
와
가 존재한다면,
이자
이다.
위의 점류
및 폴란드 공간
및 그 부분 집합
및
위의 눈금
에 대하여, 만약 모든
에 대하여
가
-계급 함수라면,
를
-눈금이라고 한다.
위의 점류
가 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금 점류(영어: scaled pointclass)라고 한다.[1]:171, Definition 22.14
- 임의의
에 대하여,
위의
-눈금이 존재한다.
눈금 점류는 항상 계급 점류이다.
위의 눈금 점류
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉,
이다.
- 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
- 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
- (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의
에 대하여,
이다.
그렇다면,
는 균등화 성질을 갖는다.
즉, 만약 폴란드 공간의 점류
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉,
이다.
- 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다.
- 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
- 합리적 점류이다.
그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.
눈금 점류 |
⇒ |
계급 점류 |
⇒ |
가산 축소 점류 |
⇒ |
가산 분리 점류의 쌍대 점류
|
⇓
|
|
⇳
|
균등화 점류
|
⇒ |
-균등화 점류
|
주기성 정리[편집]
위의 점류
가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.
- 모든 보렐 집합을 포함한다.
- 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
- 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다.
- 사영에 대하여 닫혀 있다.
- 임의의
에 대하여,
는 결정 집합이다.
- 눈금 점류이다.
그렇다면, 주기성 정리(영어: periodicity theorem)에 따르면,
역시 눈금 점류이다.[1]:336–337, Theorem 39.8
특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다.
은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우,
과
는 눈금 점류가 된다.
보렐 위계의 단계들
,
,
은
위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).
사영 위계의 단계들
,
,
은
위의 점류를 이루며, 또한
위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).