사영 집합

집합론에서 사영 집합(射影集合, 영어: projective set)은 보렐 집합으로부터 사영과 여집합을 여러 번 취하여 얻을 수 있는, 폴란드 공간의 부분 집합이다.

정의

폴란드 공간 $X$ 및 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대하여, $X$ 의 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ 집합과 ${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$ 집합 및 ${\boldsymbol {\Delta }}_{n}^{1}$ 집합은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ 집합은 $X$ 의 해석적 집합이다.
${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$ 집합은 $X$ 의 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ 집합의 여집합이다.
$X$ $X$ 의 부분 집합 $A\subseteq X$ $A\subseteq X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ 집합은 이를 만족시키는 집합이다.
- $A=\pi _{X}(C)$ 가 되는 폴란드 공간 $Y$ 및 ${\boldsymbol {\Pi }}_{n-1}^{1}$ 집합 $C\subset X\times Y$ 가 존재한다. 여기서 $\pi _{X}\colon X\times Y\to X$ 는 사영 함수이다.
- 모든 비가산 폴란드 공간 $Y$ 에 대하여, $A=\pi _{X}(C_{Y})$ 가 되는 ${\boldsymbol {\Pi }}_{n-1}^{1}$ 집합 $C_{Y}\subset X\times Y$ 가 존재한다.
${\boldsymbol {\Delta }}_{n}^{1}$ 집합은 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ 집합이며 ${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$ 집합인 집합이다.

폴란드 공간 $X$ 의 부분 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, 사영 집합은 적어도 하나의 정수 $n$ 에 대하여 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$ 집합인 부분 집합이다.

수슬린 정리(Суслин定理, 영어: Souslin’s theorem)에 따르면, 폴란드 공간 속에서 ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}$ 집합의 개념은 보렐 집합의 개념과 일치한다.^[1]^{:88, Theorem 14.11}

표준 보렐 가측 공간의 경우

임의의 두 폴란드 공간 $X$ , $Y$ 사이의, 보렐 가측 공간 구조의 동형 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$ 아래 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(X)$ 와 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}(Y)$ 가 일치하며, 사영 위계의 나머지 단계들의 정의는 위상 공간 구조에 직접적으로 의존하지 않으므로 마찬가지로 일치한다. 즉, 사영 위계는 오직 표준 보렐 가측 공간 구조에만 의존한다.

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 폴란드 공간에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]^{:314, Proposition 37.1}

집합족	가산 교집합에 대해 닫힘	가산 합집합에 대해 닫힘	여집합에 대해 닫힘	연속 상에 대해 닫힘	연속 원상에 대해 닫힘
${\boldsymbol {\Delta }}_{n}^{1}$	⭕	⭕	⭕	❌	⭕
${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$	⭕	⭕	❌	⭕	⭕
${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$	⭕	⭕	❌	❌	⭕

위 표에서, "연속 (원)상에 대해 닫힘"은 정의역과 공역을 폴란드 공간으로 하는 연속 함수에 대한 상 및 원상을 뜻한다.

포함 관계

보렐 위계와 유사하게, 다음과 같은 포함 관계가 성립하며, 이를 사영 위계(영어: projective hierarchy)라고 한다.^[1]^{:314, §37.A}

{\begin{matrix}&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}&&&\cdots &&&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&&&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{3}^{0}&\cdots &\to &{\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Delta }}_{3}^{1}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&&&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{0}&&&\cdots &&&&{\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Pi }}_{2}^{1}&&&\cdots \end{matrix}}

여기서 $A\to B$ 는 모든 $A$ 집합이 $B$ 집합임을 뜻한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

열린집합 → 보렐 집합 → 사영 집합

실수의 모든 사영 집합은 실수 구성 가능 전체 $L(\mathbb {R} )$ 에 속한다.

만약 사영 결정 공리가 성립한다면, 실수의 모든 사영 집합들은 다음 조건을 만족시킨다.

각주

1 2 3 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.

외부 링크

“Projective set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

[Kechris-1] 1 2 3 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.

[1]