입방체 범주

호모토피 이론에서 입방체 범주(立方體範疇, 영어: cube category)는 각 차원의 초입방체를 대상으로 하는 작은 범주이다. 단체 범주와 유사하지만, 단체 대신 초입방체를 사용한다. 입방체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자를 입방체 대상(立方體對象, 영어: cubical object)이라고 한다. 이는 다양한 차원의 초입방체들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, 집합의 범주 속의 입방체 대상을 입방체 집합(立方體集合, 영어: cubical set)이라고 한다.

정의

입방체 범주 $\square$는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

• 입방체 범주는 구체적으로 초입방체들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 연속 함수를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다.
• 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 모노이드 범주로서 정의될 수 있다.

범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 입방체 대상은 함자

$\square ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$

를 뜻한다. ${\mathcal {C}}$ 속의 입방체 대상의 범주를 $\operatorname {c} ({\mathcal {C}})$로 표기하자.

입방체 집합은 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주 $\square$ 위의 (집합 값의) 준층이다.

$\operatorname {PSh} (\square )=\hom _{\operatorname {Cat} }(\square ^{\operatorname {op} },\operatorname {Set} )$

입방체 집합의 범주 $\operatorname {c} (\operatorname {Set} )$은 물론 그로텐디크 토포스를 이룬다.

구체적 정의

입방체 범주 $\square$의 대상들은 자연수(음이 아닌 정수) $n$이다. 이는 $n$차원 초입방체 $\mathbb {I} ^{n}$에 해당한다.

이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다.

• 각 $\sigma \in \{0,1\}$ 및 $i\in \{0,1,\dotsc ,n\}$에 대하여, $\delta _{i}^{\sigma }\colon \mathbb {I} ^{n}\to \mathbb {I} ^{n+1}$. 이는 초입방체의 $i$번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는 $\sigma$에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.

  $(t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n-1})\mapsto (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{i-1},\sigma ,t_{i},t_{n-1})$

• 각 $i\in \{0,1,\dotsc ,n\}$에 대하여, $\epsilon _{i}\colon \mathbb {I} ^{n}\to \mathbb {I} ^{n-1}$. 이는 $n$차원 초입방체를 두께가 0인 $n+1$차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.

  $(t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n-1})\mapsto (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{i-1},t_{i+1},\dotsc ,t_{n-1})$

이는 다음을 만족시킨다.

$\epsilon _{i}\circ \delta _{i}^{\sigma }=\operatorname {id} _{\mathbb {I} ^{n}}\qquad (i\in \{0,1,\dotsc ,n\},\;\sigma \in \{0,1\})$

모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 항등 사상이다.)

추상적 정의

우선, 다음과 같은 범주 $\square _{\leq 1}$를 생각하자.

• $\square _{\leq 1}$의 대상은 $1$과 $\mathbb {I}$ 두 개이다.
• $\hom _{\square _{\leq 1}}(1,\mathbb {I} )=\{\iota _{0},\iota _{1}\}$이며, $\hom _{\square _{\leq 1}}(\mathbb {I} ,1)=\{\pi \}$이며, $\hom _{\square _{\leq 1}}(\mathbb {I} ,\mathbb {I} )=\{\iota _{0}\circ \pi ,\pi \circ \iota _{1},\operatorname {id} _{\mathbb {I} }\}$이다.
• 사상의 합성은 다음과 같다.

  $\pi \circ \iota _{0}=\pi \circ \iota _{1}=\operatorname {id} _{1}$

이 범주에서 끝 대상은 $1$이며, 시작 대상은 존재하지 않는다.

이제, $\square _{\leq 1}$로 생성되며, $1$을 항등원으로 갖는 엄격한(영어: strict) 모노이드 범주 $(\square ,\times ,1)$를 입방체 범주 $\square$라고 한다. 즉, 그 대상들은 $\mathbb {I} ^{n}=\mathbb {I} \times \mathbb {I} \times \dotsb \times \mathbb {I}$이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및 $\square _{\leq 1}$으로 유도된다.

성질

기하학적 실현

단체 집합과 마찬가지로, 기하학적 실현 함자(영어: geometric realization functor)

$|-|\colon \operatorname {cSet} \to \operatorname {Top}$

및 특이 입방체 복합체 함자(영어: singular cubical complex functor)

$\operatorname {Sing} \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {cSet}$

가 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

$|-|\dashv \operatorname {Sing}$

호몰로지

단체 집합의 단체 호몰로지와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 입방체 호몰로지(영어: cubical homology)를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 단체 호몰로지 및 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 일치한다.

구체적으로, 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 입방체 대상 $X_{\bullet }\colon \square ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {A}}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 사슬 복합체를 정의할 수 있다.

$\operatorname {C} _{n}(X)=X_{n}$

$\partial _{n}\colon \operatorname {C} _{n}(X)\to \operatorname {C} _{n-1}(X)$

$\partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}\left(\overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}} ^{i}\otimes \iota _{0}\otimes \overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}\otimes } ^{n-i-1}\right)^{\operatorname {op} }-\left(\overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}} ^{i}\otimes \iota _{1}\otimes \overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}\otimes } ^{n-i-1}\right)^{\operatorname {op} }$

(이 사슬 복합체는 단체 대상의 무어 사슬 복합체와 유사하다.)

그렇다면, 이 사슬 복합체의 호몰로지를 $X_{\bullet }$의 입방체 호몰로지라고 한다. 입방체 집합 $X_{\bullet }$의 입방체 호몰로지는 각 성분별 자유 아벨 군으로 정의되는 입방체 아벨 군

$\mathbb {Z} [X_{\bullet }]\in \operatorname {c} (\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} })$

의 입방체 호몰로지이다.

삼각 분할

마찬가지로, $n$차원 입방체를 $n$차원 단체들로 분할하는 삼각 분할 함자(영어: triangulation functor)

$\operatorname {Tri} \colon \square \to \operatorname {sSet}$

$\operatorname {Tri} \colon \mathbb {I} ^{n}\to (\triangle ^{1})^{\times n}$

가 존재한다. (여기서 $\operatorname {sSet}$은 단체 집합의 범주이다.)

이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자

$\operatorname {cSet} \to \operatorname {sSet}$

가 존재한다.

모형 범주 구조

입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따라 그 호모토피 범주는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주 $\operatorname {hTop}$ 및 단체 집합의 호모토피 범주와 동치이다.

참고 문헌

• Jardine, John Frederick (2002). “Cubical homotopy theory: a beginning” (PDF) (영어). 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 6월 29일에 확인함. 

외부 링크

• “Category of cubes”. 《nLab》 (영어). 
• “Category of cubes — exposition”. 《nLab》 (영어). 
• “Cubical set”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on cubical sets”. 《nLab》 (영어). 
• Newstead, Clive. “Cubical sets” (PDF) (영어). 2017년 3월 29일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 6월 29일에 확인함. 
• “What is the intuition of connections for cubical sets?” (영어). Math Overflow. 
• “Cubical vs. simplicial singular homology” (영어). Math Overflow.