입방체 범주

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호모토피 이론에서, 입방체 범주(立方體範疇, 영어: cube category)는 각 차원의 초입방체를 대상으로 하는 작은 범주이다. 단체 범주와 유사하지만, 단체 대신 초입방체를 사용한다. 입방체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자입방체 대상(立方體對象, 영어: cubical object)이라고 한다. 이는 다양한 차원의 초입방체들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, 집합의 범주 속의 입방체 대상을 입방체 집합(立方體集合, 영어: cubical set)이라고 한다.

정의[편집]

입방체 범주 는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

  • 입방체 범주는 구체적으로 초입방체들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 연속 함수를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다.
  • 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 모노이드 범주로서 정의될 수 있다.

범주 위의 입방체 대상함자

를 뜻한다. 속의 입방체 대상의 범주를 로 표기하자.

입방체 집합집합함수의 범주 위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주 위의 (집합 값의) 준층이다.

입방체 집합의 범주 은 물론 그로텐디크 토포스를 이룬다.

구체적 정의[편집]

입방체 범주 의 대상들은 자연수(음이 아닌 정수) 이다. 이는 차원 초입방체 에 해당한다.

이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다.

  • 에 대하여, . 이는 초입방체번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는 에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.
  • 에 대하여, . 이는 차원 초입방체를 두께가 0인 차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.

이는 다음을 만족시킨다.

모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 항등 사상이다.)

추상적 정의[편집]

우선, 다음과 같은 범주 를 생각하자.

  • 의 대상은 두 개이다.
  • 이며, 이며, 이다.
  • 사상의 합성은 다음과 같다.

이 범주에서 끝 대상이며, 시작 대상은 존재하지 않는다.

이제, 로 생성되며, 을 항등원으로 갖는 엄격한(영어: strict) 모노이드 범주 입방체 범주 라고 한다. 즉, 그 대상들은 이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및 으로 유도된다.

성질[편집]

기하학적 실현[편집]

단체 집합과 마찬가지로, 기하학적 실현 함자(영어: geometric realization functor)

특이 입방체 복합체 함자(영어: singular cubical complex functor)

가 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

호몰로지[편집]

단체 집합단체 호몰로지와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 입방체 호몰로지(영어: cubical homology)를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 단체 호몰로지 및 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 일치한다.

구체적으로, 아벨 범주 속의 입방체 대상 가 주어졌을 때, 다음과 같은 사슬 복합체를 정의할 수 있다.

(이 사슬 복합체단체 대상무어 사슬 복합체와 유사하다.)

그렇다면, 이 사슬 복합체의 호몰로지입방체 호몰로지라고 한다. 입방체 집합 의 입방체 호몰로지는 각 성분별 자유 아벨 군으로 정의되는 입방체 아벨 군

의 입방체 호몰로지이다.

삼각 분할[편집]

마찬가지로, 차원 입방체를 차원 단체들로 분할하는 삼각 분할 함자(영어: triangulation functor)

가 존재한다. (여기서 단체 집합의 범주이다.)

이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자

가 존재한다.

모형 범주 구조[편집]

입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따라 그 호모토피 범주는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주 단체 집합호모토피 범주동치이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]