호모토피 이론에서 입방체 범주(立方體範疇, 영어: cube category)는 각 차원의 초입방체를 대상으로 하는 작은 범주이다. 단체 범주와 유사하지만, 단체 대신 초입방체를 사용한다. 입방체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자를 입방체 대상(立方體對象, 영어: cubical object)이라고 한다. 이는 다양한 차원의 초입방체들을 짜깁기하여 얻는 일종의 “공간”으로 여겨질 수 있으며, 특히, 집합의 범주 속의 입방체 대상을 입방체 집합(立方體集合, 영어: cubical set)이라고 한다.
입방체 범주
는 다음과 같이 여러 방법으로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.
- 입방체 범주는 구체적으로 초입방체들을 대상으로 하며, 그 사이의 특정 연속 함수를 사상으로 하는 범주로서 정의될 수 있다.
- 입방체 범주는 추상적으로 특별한 사상들로 생성되는 모노이드 범주로서 정의될 수 있다.
범주
위의 입방체 대상은 함자
![{\displaystyle \square ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b077053d18259380c7553ea0d7ad978af7431ec)
를 뜻한다.
속의 입방체 대상의 범주를
로 표기하자.
입방체 집합은 집합과 함수의 범주
위의 입방체 대상이다. 즉, 입방체 범주
위의 (집합 값의) 준층이다.
![{\displaystyle \operatorname {PSh} (\square )=\hom _{\operatorname {Cat} }(\square ^{\operatorname {op} },\operatorname {Set} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31d08706f2ff7e762a39cb526356085e9e556c1)
입방체 집합의 범주
은 물론 그로텐디크 토포스를 이룬다.
구체적 정의[편집]
입방체 범주
의 대상들은 자연수(음이 아닌 정수)
이다. 이는
차원 초입방체
에 해당한다.
이 사이의 사상들은 다음과 같은 기초적 사상들의 합성이다.
- 각
및
에 대하여,
. 이는 초입방체의
번째 축에 수직인 두 면 가운데 하나를 취하는 것이며, 어떤 면을 취하는 것인지는
에 의하여 결정된다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.
![{\displaystyle (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n-1})\mapsto (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{i-1},\sigma ,t_{i},t_{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0defedc7957a7bffa0b620796855d5bfd5d7888)
- 각
에 대하여,
. 이는
차원 초입방체를 두께가 0인
차원 초입방체로 여기는 것이다. 즉, 이는 대략 다음과 같은 함수로 생각할 수 있다.
![{\displaystyle (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n-1})\mapsto (t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{i-1},t_{i+1},\dotsc ,t_{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7301fd7fde7e09523b860994d26deb449a28b7e)
이는 다음을 만족시킨다.
![{\displaystyle \epsilon _{i}\circ \delta _{i}^{\sigma }=\operatorname {id} _{\mathbb {I} ^{n}}\qquad (i\in \{0,1,\dotsc ,n\},\;\sigma \in \{0,1\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e2f26fafc1adc42599f298917926008d6c24cf)
모든 사상들은 이와 같은 유한 개의 기초적 사상들의 합성이다. (특히, 0개의 기초적 사상의 합성은 항등 사상이다.)
추상적 정의[편집]
우선, 다음과 같은 범주
를 생각하자.
의 대상은
과
두 개이다.
이며,
이며,
이다.
- 사상의 합성은 다음과 같다.
![{\displaystyle \pi \circ \iota _{0}=\pi \circ \iota _{1}=\operatorname {id} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea33ed0444bc79a83128703a28dac802ce1215b)
이 범주에서 끝 대상은
이며, 시작 대상은 존재하지 않는다.
이제,
로 생성되며,
을 항등원으로 갖는 엄격한(영어: strict) 모노이드 범주
를 입방체 범주
라고 한다. 즉, 그 대상들은
이며, 그 사상들은 모노이드 범주의 정의 및
으로 유도된다.
기하학적 실현[편집]
단체 집합과 마찬가지로, 기하학적 실현 함자(영어: geometric realization functor)
![{\displaystyle |-|\colon \operatorname {cSet} \to \operatorname {Top} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c250286b2b0b1aa116f4053f7b474dd007375d16)
및 특이 입방체 복합체 함자(영어: singular cubical complex functor)
![{\displaystyle \operatorname {Sing} \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {cSet} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0b96cb6530204f728484c3510eecbdafd4f434)
가 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.
![{\displaystyle |-|\dashv \operatorname {Sing} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ea1fd0314511c2e32bbadd59bad09515044e49)
호몰로지[편집]
단체 집합의 단체 호몰로지와 마찬가지로, 입방체 집합 위에는 입방체 호몰로지(영어: cubical homology)를 정의할 수 있다. 이는 삼각 분할의 단체 호몰로지 및 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 일치한다.
구체적으로, 아벨 범주
속의 입방체 대상
가 주어졌을 때, 다음과 같은 사슬 복합체를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {C} _{n}(X)=X_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248b86b8ce98369a0b55f058bc3d1bee3b9f34f2)
![{\displaystyle \partial _{n}\colon \operatorname {C} _{n}(X)\to \operatorname {C} _{n-1}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023ebd850fca400f407140ce0a2662de2a46815b)
![{\displaystyle \partial _{n}=\sum _{i=0}^{n}\left(\overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}} ^{i}\otimes \iota _{0}\otimes \overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}\otimes } ^{n-i-1}\right)^{\operatorname {op} }-\left(\overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}} ^{i}\otimes \iota _{1}\otimes \overbrace {\operatorname {id} _{1}\otimes \dotsb \otimes \operatorname {id} _{1}\otimes } ^{n-i-1}\right)^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ee4d8ee263acde316c97ce36c06da9b853d98a)
(이 사슬 복합체는 단체 대상의 무어 사슬 복합체와 유사하다.)
그렇다면, 이 사슬 복합체의 호몰로지를
의 입방체 호몰로지라고 한다. 입방체 집합
의 입방체 호몰로지는 각 성분별 자유 아벨 군으로 정의되는 입방체 아벨 군
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X_{\bullet }]\in \operatorname {c} (\operatorname {Mod} _{\mathbb {Z} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bb6c1504eb9ded712891bba998acb54d33a068)
의 입방체 호몰로지이다.
삼각 분할[편집]
마찬가지로,
차원 입방체를
차원 단체들로 분할하는 삼각 분할 함자(영어: triangulation functor)
![{\displaystyle \operatorname {Tri} \colon \square \to \operatorname {sSet} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17a355422b47b1ca5cf6080edc81013810f1483)
![{\displaystyle \operatorname {Tri} \colon \mathbb {I} ^{n}\to (\triangle ^{1})^{\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ef5a8205c7b39a667c557fb96ab78b562edbe9)
가 존재한다. (여기서
은 단체 집합의 범주이다.)
이로부터, 임의의 입방체 집합을 단체 집합에 대응시키는 삼각 분할 함자
![{\displaystyle \operatorname {cSet} \to \operatorname {sSet} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4de21343160eb9ac79e446d9541bcbc4e0c6f0)
가 존재한다.
모형 범주 구조[편집]
입방체 집합의 범주 위에는 표준적인 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따라 그 호모토피 범주는 위상 공간의 (퀼런) 호모토피 범주
및 단체 집합의 호모토피 범주와 동치이다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]