쉴로브 정리

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군론에서, 쉴로브 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 그보다 큰 p-부분군이 존재하지 않는 p-부분군이다. 쉴로브 정리(영어: Sylow’s theorem)는 유한군의 쉴로브 p-부분군들의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 코시의 정리의 폭넓은 일반화이며, 라그랑주 정리의 부분적 역이다. 유한 단순군의 중요한 성질들을 유도할 수 있다.

정의[편집]

쉴로브 p-부분군[편집]

소수 가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수가 의 거듭제곱인 이다.

쉴로브 p-부분군은 극대 -부분군이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 이다.

  • -군이다.
  • -부분군 뿐이다.

쉴로브 -부분군의 집합은 와 같이 표기한다.

쉴로브 정리[편집]

유한군 의 크기가 다음과 같다고 하자.

여기서 소수이며, , 이다. 그렇다면 다음 세 정리가 성립한다.

제1 쉴로브 정리: 크기가 인 쉴로브 -부분군이 존재한다.

제2 쉴로브 정리: 의 모든 쉴로브 -부분군들은 서로 켤레이다. 따라서 모든 쉴로브 -부분군의 크기는 이다.

제3 쉴로브 정리: 의 쉴로브 -부분군의 총수가 이며, 의 임의의 쉴로브 -부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

  • . 여기서 정규화 부분군이다.

무한군의 경우[편집]

쉴로브 정리는 일반적으로 유한군에 대해서만 적용할 수 있다. 그러나, 무한군에 대하여서도 쉴로브 p-부분군의 개수가 유한한 경우에 한하여 다음과 같이 제한된 형식의 쉴로브 정리를 적용할 수 있다. 여기서 쉴로브 p-부분군의 존재성은 초른의 보조정리에 의하여 인정된다.

  • 정리 : 어떤 무한군 에 대하여 쉴로브 p-부분군의 개수가 자연수 이라 하자. 이때 꼴이며, 또 모든 쉴로브 p-부분군들은 서로 켤레이다.

증명[편집]

군의 작용을 통한 증명[편집]

쉴로브 -부분군 를 취하자. 우선 단언

증명하자. 그렇지 않다면, 코시의 정리에 따라

가 존재한다. 또한,

이다. 이들 조건에 따라, 보다 큰 -부분군이므로, 모순이다. 즉, 단언이 성립한다.

이제, 단언

를 증명하자. 에 대하여,

이 존재한다고 하자. 그렇다면

따라서 이다. 즉, 단언이 성립한다.

단언

를 증명하자. 좌잉여류 집합 위의 왼쪽 곱셈 작용

으로부터 유도되는 항등식

를 생각하자. 마지막 조건은 바로 위 단언을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

즉, 단언이 성립한다.

위 단언들 및 크기 관계

에 따라,

이다. 즉, 제1 쉴로브 정리가 성립한다.

임의의 쉴로브 -부분군 에 대하여, 군의 작용

을 생각하자. 그렇다면, 위와 비슷한 논증에 따라

즉, 제2 쉴로브 정리가 성립한다.

부분군 집합 위의 켤레 작용

을 생각하자. 이미 증명한 제2 쉴로브 정리에 따라, 는 이 작용의 궤도이며, 는 그 안정자군이다. 궤도-안정자군 정리에 따라

즉, 제3 쉴로브 정리가 성립한다.

귀납법을 통한 증명[편집]

조합론을 통한 증명[편집]

응용 사례들[편집]

쉴로브 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 대표적인 것들을 몇 가지만 다음에 나열해 본다. 소수이며, 라고 하자.

  • 일 경우, 크기가 인 군은 순환군동형이다.
  • 일 경우, 크기가 이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
  • 크기가 ()인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.

역사[편집]

노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • 김주필 (2009). 《알기 쉬운 대수학》. 대선. 

바깥 고리[편집]