프라티니 논증

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군론에서, 프라티니 논증(-論證, 영어: Frattini argument)는 유한군정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

정의[편집]

소수 가 주어졌고, 유한 정규 부분군이며, 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:128, §6.3, Lemma 6.14

여기서 정규화 부분군이다.

증명[편집]

임의의 에 대하여, 의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 에서 켤레이다. 즉,

이 존재한다. 따라서 이며,

이다.

응용[편집]

유한군 와 소수 가 주어졌고, 의 쉴로브 p-부분군이며, 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[1]:129, §6.3, Corollary 6.15

특히,

이다.

증명:

의 정규 부분군이며,

의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여

이다.

역사[편집]

1885년에 조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini)가 유한군의 프라티니 부분군멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.

각주[편집]

  1. Rose, Harvey E. (2009). 《A Course on Finite Groups》. Universitext (영어). London: Springer. doi:10.1007/978-1-84882-889-6. ISBN 978-1-84882-888-9. ISSN 0172-5939. 

외부 링크[편집]