대수적 양자장론

수리물리학에서, 대수적 양자장론(영어: Algebraic quantum field theory)은 함수해석학의 C*-대수를 국소적 양자 물리학에 응용한 이론이다. 헤이그와 카스틀러가 도입했기 때문에 양자장론에 대한 헤이그-카스틀러 공리계(Haag–Kastler axiomatic framework)라고도 한다. 이 공리계는 민코프스키 공간의 모든 열린 집합에 대해 주어진 대수와 그 사이의 사상으로 명시된다. 양자장론의 공리화라는 수리물리학의 주요 주제에 속한다.

함수해석학과 양자장론의 관련성

함수해석학에서는 선형 공간 구조와 위상 수학 구조를 함께 갖춘 함수 공간과 그곳에서 작용소(사상)를 연구한다. 이 때 작용소들은 특정한 대수적 구조를 가지고 있다. C*-대수는 그러한 대수 구조들 중 하나이고 폰 노이만 대수는 C*-대수의 일종이다.

한편, 양자장론의 수학적 구조는 힐베르트 공간이라는 함수 공간과 그곳에서 작용소들이다. 대수적 양자장론은 이에 착안하여, 힐베르트 공간의 작용소들이 이루는 대수인 폰 노이만 대수를 이용해 양자장론을 엄밀히 정의하려고 한다.

헤이그-카스틀러 공리

${\mathcal {O}}$를 민코프스키 공간의 모든 열린 부분집합과 제한된 부분집합의 집합이라 하자. 대수적 양자장론은 공통적 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$에서 폰 노이만 대수 ${\mathcal {A}}(O)$의 그물 $\{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}$을 통해 정의된다. 공리계는 다음과 같다:

• 아이소토니: $O_{1}\subset O_{2}$이면 ${\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})$.
• 인과관계: 만일 $O_{1}$와 $O_{2}$가 장소꼴로 분리되어 있으면, $[{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0$.
• 푸앵카레 공변성: 다음과 같은 ${\mathcal {H}}$ 위의 푸앵카레 군 ${\mathcal {P}}$의 강하게 연속적인 유니터리 표현 $U({\mathcal {P}})$이 존재한다: ${\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P}}.$
• 스펙트럼 조건 : 에너지 운동량 연산자 $P$의 조인트 스펙트럼 $\mathrm {Sp} (P)$ (즉, 시공간 변환의 생성원)는 닫힌 전방 광원뿔에 포함되어 있다.
• 진공 벡터의 존재 : 순환 벡터와 푸앵카레 불변 벡터 $\Omega \in {\mathcal {H}}$가 존재한다.

그물 대수학 ${\mathcal {A}}(O)$들은 국소 대수라고 부른다. C*-대수 ${\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}$는 준 국소대수라고 불린다.

범주론적 공식화

범주 ${\bf {Mink}}$를 범주의 사상은 포함 함수이고 대상은 민코프스키 공간 $M$의 열린 부분 집합들인 범주라 하자. ${\bf {Mink}}$의 모든 사상이 C*-대수 범주 ${\bf {uC^{*}alg}}$의 단사 사상에 사상되는 공변 함자 ${\mathcal {A}}:{\bf {{Mink}\to {\bf {uC^{*}alg}}}}$가 주어진다.(아이소토니)

푸앵카레 군은 ${\bf {Mink}}$에 대해 연속적으로 작용한다. 이 작용의 당김이 존재하며 이는 ${\mathcal {A}}(M)$의 표준 위상에서 연속이다.(푸앵카레 공변).

민코프스키 공간은 인과 구조를 가지고 있다. 열린집합 $V$가 열린집합 $U$의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상은

${\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})$

이고

${\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})$

는 교환한다(장소꼴 교환성). 만약 ${\bar {U}}$가 열린집합 $U$ 의 인과적 완비화이면 ${\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})$는 동형 사상 (원시적 인과관계)이다.

C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다. ${\mathcal {A}}(M)$ 위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 $U$에 대해 ${\mathcal {A}}(U)$과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.

겔판트-나이마크-세겔 구성에 따르면 각 상태에 대해 ${\mathcal {A}}(M)$의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약표현에 해당하고 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.

휘어진 시공간에서의 양자장론

최근에는 대수적 양자장론이 휘어진 시공간 양자장론을 포함하도록 하는 접근 방식이 추가로 구현되었다. 실제로, 국소적 양자 물리학의 관점은 휘어진 배경에서 전개된 양자장론에 대한 재규격화 절차를 일반화하는 데 특히 적합하다. 블랙홀이 있는 경우 양자장론에 관한 몇 가지 엄격한 결과가 얻어졌다.

참고 문헌

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외부 링크

• Local Quantum Physics Crossroads 2.0 – 국소적 양자 물리학을 연구하는 과학자 네트워크
• 논문 – 대수적 QFT에 대한 사전 인쇄 데이터베이스
• 대수적 양자장론 – 함부르크 대학의 AQFT 리소스