인과 구조

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일반 상대성 이론에서, 인과 구조(因果構造, 영어: causal structure)는 시공간의 점들 사이에, 상대성 이론에 따라 어떤 점이 다른 어떤 점에 물리적으로 영향을 줄 수 있는지에 대한 관계를 나타낸다.

정의[편집]

로런츠 다양체 가 주어졌다고 하고, 계량 부호수를 −+++로 잡자.

벡터의 분류[편집]

어떤 점 에서의 벡터 는 다음과 같이 분류된다.

  • 만약 이라면 시간꼴(영어: timelike)이라고 한다.
  • 만약 이라면 영벡터(영어: null vector)라고 한다.
  • 만약 이라면 공간꼴(영어: spacelike)이라고 한다.

시간꼴/영/공간꼴 벡터장은 모든 점에서 시간꼴/영벡터/공간꼴인 벡터장이다. 인과 벡터장(영어: causal vector field)은 모든 점에서 시간꼴이거나 영벡터인 벡터장이다.

만약 어떤 곡선 의 접벡터 가 항상 시간꼴이라면, 이를 시간꼴 곡선이라고 한다. 마찬가지로 영벡터 곡선이나 공간꼴 곡선도 정의할 수 있다. 인과적 곡선(영어: causal curve)은 모든 점에서 접벡터가 영벡터이거나 시간꼴인 곡선이다.

시간 방향[편집]

에서, 시간꼴 벡터 들의 집합에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

이에 따라, 에서의 모든 시간꼴 벡터들은 두 동치류로 분류할 수 있다. 에서의 시간 방향은 이 둘 가운데 하나를 선택한 것이며, 선택된 방향을 미래 방향, 선택되지 않은 방향을 과거 방향이라고 한다.

만약 로런츠 다양체 전체에 시간 방향을 연속적으로 줄 수 있다면 시간 가향(영어: time-orientable)하다고 한다.

미래 방향 시간꼴 벡터장(영어: future-oriented timelike vector field)은 모든 점에서 미래 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다. 마찬가지로, 과거 방향 시간꼴 벡터장(영어: past-oriented timelike vector field)은 모든 점에서 과거 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다.

인과 관계[편집]

두 점 사이에 다음과 같은 관계를 정의할 수 있다.

  • 만약 에서 로 가는 미래 방향 시간꼴 곡선이 존재한다면 보다 시간 순으로 선행한다(영어: chronologically precedes)고 하고, 라고 쓴다.
  • 만약 에서 로 가는 미래 방향 인과 곡선이 존재한다면 보다 인과적으로 선행한다(영어: causally precedes)고 하고, 라고 쓴다.

마찬가지로, 그 반대 개념인 시간 순 후행 () 및 인과적 후행()도 정의할 수 있다.

이들은 추이법칙을 만족시킨다. 즉

또한, 인과적 선행은 시간 순 선행보다 더 약한 개념이다.

시간순/인과적 선행을 사용하여, 다음과 같은 미래 및 과거 개념을 정의할 수 있다.

  • 시간 순 미래 보다 시간 순으로 후행하는 점들의 집합이다.
  • 시간 순 과거 보다 시간 순으로 선행하는 점들의 집합이다.
  • 인과적 미래 보다 인과적으로 후행하는 점들의 집합이다.
  • 인과적 과거 보다 인과적으로 선행하는 점들의 집합이다.

점근적 과거와 미래[편집]

시공간 를 등각 콤팩트화 할 수 있다고 하자. 즉,

이다. 이 경우

  • 미래 시간꼴 무한(영어: future timelike infinity) 에서 시작하는 시간꼴 곡선들의 미래 방향 끝점들의 집합이다.
  • 과거 시간꼴 무한(영어: past timelike infinity) 에서 끝나는 시간꼴 곡선들의 과거 방향 끝점들의 집합이다.
  • 공간꼴 무한(영어: spacelike infinity) 에서 시작하는 공간꼴 곡선들의 끝점들의 집합이다.
  • 미래 영벡터 무한(영어: future null infinity) 에서 시작하는 영벡터 곡선들의 미래 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 플러스"로 발음하는데, 이는 LaTeX 매크로 {\scr I}^+에서 유래한다.
  • 과거 영벡터 무한(영어: past null infinity) 에서 끝나는 영벡터 곡선들의 과거 방향 끝점의 집합이다. 이는 보통 "스크라이 마이너스"로 발음하는데, 이는 LaTeX 매크로 {\scr I}^-에서 유래한다.

참고 문헌[편집]