미분기하학에서 납땜(영어: soldering)은 올다발의 수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의 접다발 사이의 동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 매끄러운 올다발
. 또한,
역시 다양체라고 하자.
그렇다면,
의 납땜
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 매끄러운 단면
![{\displaystyle o\in \Gamma (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c5a1ededcc76ea09bcab5af3a07539ea07499f)
- 매끄러운 벡터 다발의 동형
. 여기서
는
의 수직 벡터 다발이며,
는 벡터 다발의 당김이다.
이에 따라,
는 다음과 같은,
값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다.
![{\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(M;o^{*}\mathrm {V} E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d178aad1891a6317f371ed07840361ac48ed09ca)
이를 납땜 형식(-形式, 영어: solder form)이라고 한다.
만약
가 이미 매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로
가
이 되게 잡는다.
다양체
위의 매끄러운 올다발
위에 납땜이 존재할 필요 조건은
인 것이다.
다양체
위의 접다발
은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우
이다.)
리만 다양체[편집]
매끄러운 다양체
위의 일반화 리만 계량
은, 공변접다발
위의 납땜
가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.
이며, 임의의
및
에 대하여 ![{\displaystyle \theta (u)(v)=\theta (v)u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959de5e7c55186c9f34f1c4a880c5fa2aeb373ea)
위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은
가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.
구체적으로, 일반화 리만 계량
는 벡터 다발의 동형
![{\displaystyle \theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647f95cf310e419a5c50673ba8c004ada801aff0)
![{\displaystyle \theta \colon (x,v)\mapsto \left(x,g(v,-)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc720c5ec3db1497794c0481ea98a4f1d4fb50e9)
을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜
이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량
![{\displaystyle g(u,v)=\left(\theta (u)\right)(v)=\left(\theta (v)\right)(u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a59d7ad8d4aa9344dbab4f904fd9a8866e6db5)
를 정의할 수 있다.
심플렉틱 다양체[편집]
심플렉틱 다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상
![{\displaystyle \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28abbccdda83ba8b0a02c390fe5ef104c5efdff)
![{\displaystyle (x,v)\mapsto (x,\omega (v,-))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5713adddf608bf6bd31f741f354d127e6011c3f)
은 공변접다발
위의 납땜을 정의한다.
연관 벡터 다발[편집]
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 리 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
-매끄러운 주다발 ![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
의 매끄러운 유한 차원 실수 표현 ![{\displaystyle \rho \colon V\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ee0a8c30f7b5f1ed0e6e68a20742ca0eeba529)
이 경우, 연관 벡터 다발
를 구성할 수 있다. 이 경우,
위의 납땜은 각
에 대하여 동형 사상
![{\displaystyle \theta _{x}\colon \mathrm {T} _{x}M\to P\times _{G}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c5c7c7d49c4626a726552ddc96c033dcf0ee94)
로 주어진다.
즉, 이 경우 납땜 형식
는
-등변
값 1차 미분 형식
![{\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52dc46ad36aba3e255aa10a907d285d44a7e3ee)
가운데,
인 것이다. 특히,
는 수평 미분 형식이다.[1]:§5.1
이 경우,
를
위의
-구조(
-構造, 영어:
-structure)라고 한다.[1]:§5.1[2]
만약 추가로
가 충실한 표현(즉, 단사 함수)일 경우, 이 경우
는 1차 틀다발
의 부분 주다발이 된다. 구체적으로,
에 대응하는 틀은 다음과 같다.
![{\displaystyle v\mapsto \theta _{\pi (x)}^{-1}([(p,v)])\qquad (v\in V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dfa48f3372dc57cd25c47cbd8f3014c8593c59)
주다발[편집]
매끄러운 다양체
위의 매끄러운 주다발
의 납땜
의 개념은 자명하다. 이는 단면
의 존재에 따라
가 대역적으로 자명한 주다발
이 되며,
이므로 이에 따라
![{\displaystyle \mathrm {T} M\cong M\times {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76550341812dfb7d0847ffad18ab55743c9bb56a)
가 되기 때문이다. 즉, 접다발
역시 자명한 벡터 다발이 된다.
이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다.
외부 링크[편집]