일반화 리만 다양체

이 문서는 2차 미분 형식과 정부호 리만 계량을 갖춘 다양체에 관한 것입니다. 부정부호 계량을 갖춘 다양체에 대해서는 준 리만 다양체 문서를 참고하십시오.

미분기하학에서 일반화 리만 다양체(一般化Riemann多樣體, 영어: generalized Riemannian manifold)는 리만 계량과 2차 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

정의

일반화 리만 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의

일반화 리만 다양체 $(M,g,B)$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 리만 다양체 $(M,g)$
• 2차 미분 형식 $B\in \Omega ^{2}(M)$

일반화 접다발을 통한 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반화 접다발은 다음과 같은 $2\dim M$차원 매끄러운 벡터 다발이다.

$E=\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$

즉, 접다발과 공변접다발의 직합이다. 그 위에는 자연스러운 쌍선형 형식

$\langle X+\alpha ,Y+\beta \rangle ={\frac {\alpha (Y)+\beta (X)}{2}}$

이 존재하며, 그 부호수는 $(\dim M,\dim M)$이다. 이에 따라 자연스러운 벡터 다발 동형 사상

$E\cong E^{*}$

이 존재한다.

$M$ 위의 일반화 리만 계량

$G\colon E\to E$

은 다음 조건들을 만족시키는 벡터 다발 사상이다.^:§1.1

• (자기 수반) $G^{\top }=G$이다. 즉, $\langle x,Gy\rangle =\langle Gx,y\rangle$이다.
• (직교성) $G$는 벡터 다발의 동형 사상이며, $G=G^{-1}$이다.
• (정부호성) $\langle G-,-\rangle$는 양의 정부호이다.

두 정의 사이의 관계

이 두 정의는 서로 동치이다.^{:Proposition 2.1}

일반화 접다발 $E=\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$ 위의 일반화 리만 계량 $G$가 주어졌다면, $G^{2}=1$이므로 그 고윳값은 ±1이다. 즉, $E$는 고유 공간

$E=E^{+}\oplus E^{-}$

로 분해되며, 이들은 서로 직교이다.

$\langle E^{+},E^{-}\rangle =0$

이 부분 공간 $E^{+}$는 어떤 벡터 다발 사상 $\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M$의 그래프로 해석할 수 있다. 이 벡터 다발 사상은 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해하여

$g+B$

로 쓸 수 있으며, 이는 각각 리만 계량과 2차 미분 형식에 해당한다. 마찬가지로, $E^{-}$는 $B-g$의 그래프가 된다.

$E_{x}^{\pm }=\{X+B(X,-)\pm g(X,-)\colon X\in \mathrm {T} _{x}M\}$

예

모든 켈러 다양체는 (심플렉틱 형식과 리만 계량을 사용하여) 자연스럽게 일반화 리만 다양체를 이룬다.

외부 링크

• “Generalized complex geometry”. 《nLab》 (영어). 
• “Generalized tangent bundle”. 《nLab》 (영어).