기하학에서 리 대수 값 미분 형식(Lie代數값微分形式, 영어: Lie-algebra-valued differential form)은 리 대수인 자명한 벡터 다발의 값의 미분 형식이다. 이 경우, 일반 벡터 값 미분 형식과 달리, 두 미분 형식에 대한, 쐐기곱과 리 괄호를 합성한 연산을 취할 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 유한 차원 실수 리 대수
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
그렇다면, 자명한 벡터 다발
을 생각할 수 있다. 이 벡터 다발의 값을 갖는 미분 형식
![{\displaystyle \alpha \in \Gamma \left(M;{\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\bigvee ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb51769ca7fc07483457e2cb16f0e345ace332de)
을
값 미분 형식이라고 한다.
1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.
구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수
. 이는 물론 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수
로 여겨질 수 있다.
그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.
위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수
를 이룬다.
의 베유 대수
역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다.
그렇다면,
위의
값의 미분 형식은 미분 등급 대수의 준동형
![{\displaystyle \alpha \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e252348aecfce5709bcc51bee0c1751a19ef4ec)
이다.
만약
가 리 대수일 경우 (즉,
의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로
의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는
값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.
설명:
구체적으로, 리 대수
의 기저가
라고 하고, 그 베유 대수
의 등급 1의 생성원이
, 등급 2의 생성원이
라고 하자. 즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle \delta \mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}+\mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}\delta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b973e46c5ee2cfa285ff287eef40f9b3d2bc5212)
![{\displaystyle \delta ^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038b07cc5dfd625802462fc47b38a88f1d709ce1)
![{\displaystyle \mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i}(t_{j},t_{k})=-{\frac {1}{2}}t^{i}([t_{j},t_{k}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f05919cd5f0c49bcc839755d96381194123ba85)
그렇다면, 준동형
![{\displaystyle \phi \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1618f5b9f523d9b568715a2028dc3c6553d49bcc)
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
값의 1차 미분 형식 ![{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603236a9f6ed8ae949b4a1d7f9f0cabacbccd572)
값의 2차 미분 형식 ![{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})\in \Omega ^{2}(M;{\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fd29c5f64afa1546546dc87605d79f0aaf8540)
그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})&=\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\left(\phi (\delta t^{i})+\phi (\mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i})\right)\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k\in I}[t_{j},t_{k}]\phi (t^{j})\wedge \phi (t^{k})\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-\left[\sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\wedge \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24a95b5897187780637863331038791bfd38315)
즉, 이는 임의의
값의 1차 미분 형식
만으로 완전히 결정된다.
매끄러운 다양체
위의, 실수 리 대수
값의,
차 미분 형식
와
차 미분 형식
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 리 괄호는 다음과 같은,
값의
차 미분 형식이다.
![{\displaystyle [\alpha \wedge \beta ](v_{1},\dotsc ,v_{m+n})={\frac {1}{(m+n)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (m+n)}(-)^{\sigma }[\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}),\beta (v_{m+1},\dotsc ,v_{m+n})]\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m+n}\in \mathrm {T} _{x}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770481e0824d3bc176348a34e75b2a9bd1cf1a43)
이에 따라,
위의
값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.
임의의 실수 리 대수의 준동형
및
값의
차 미분 형식
가 주어졌을 때,
![{\displaystyle \phi (\alpha )(v_{1},\dotsc ,v_{m})=\phi (\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}))\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m}\in \mathrm {T} _{x}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4754d49c9596078dec7b8e101dce7d28910cb1e9)
로 정의하면,
는
위의
값의
차 미분 형식을 이룬다.