리 대수 이론에서, 베유 대수 (Weil代數, 영어 : Weil algebra )는 리 대수의 슈발레-에일렌베르크 대수 에서, 고차 코호몰로지 가 모두 없어지게 생성원들을 추가하여 얻는 미분 등급 대수 이다. 대략, 리 군 의 분류 공간 위의 주다발 의 전체 공간에 해당하며, 이 때문에 리 대수 코호몰로지 의 이론에서 중요한 역할을 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
체
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
위의 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
그렇다면,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 베유 대수 는 다음과 같은 미분 등급 대수 이다.
W
(
g
)
=
⋀
(
g
∗
⊕
g
[
1
]
)
≅
⋀
(
g
∗
)
⊗
Sym
(
g
∗
)
{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})=\bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])\cong \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})}
W
n
(
g
)
=
⨁
2
p
+
q
=
n
Sym
p
(
g
∗
)
⊗
K
⋀
q
g
∗
{\displaystyle \operatorname {W} ^{n}({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{2p+q=n}\operatorname {Sym} ^{p}({\mathfrak {g}}^{*})\otimes _{K}\bigwedge ^{q}{\mathfrak {g}}^{*}}
여기서
(
g
∗
⊕
g
∗
[
1
]
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}^{*}[1])}
는 등급이 1인
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
와, 등급이 2인
g
∗
[
1
]
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}[1]}
의 직합으로 생성되는 외대수이다. (즉, 등급이 2인 것들은 서로 가환이며, 등급이 1인 것들은 서로 반가환이다.)
즉,
⋀
(
g
∗
)
⊗
Sym
(
g
∗
)
{\displaystyle \textstyle \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})}
로의 표현에서, 외대수 성분의 생성원의 등급은 1이며, 대칭 대수 성분의 생성원의 등급은 2이다.
그 위의 미분 연산은 다음과 같다.
d
=
d
1
+
d
2
{\displaystyle \mathrm {d} =\mathrm {d} _{1}+\mathrm {d} _{2}}
여기서
d
1
:
g
∗
→
g
[
1
]
{\displaystyle \mathrm {d} _{1}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}[1]}
은 외대수의 생성원을 대칭 대수의 생성원으로 대응시킨다. (이는
g
[
1
]
{\displaystyle {\mathfrak {g}}[1]}
위에는 0으로 작용한다.)
d
2
{\displaystyle \mathrm {d} _{2}}
는
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 슈발레-에일렌베르크 대수
CE
(
g
)
=
⋀
g
∗
{\displaystyle \textstyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})=\bigwedge {\mathfrak {g}}^{*}}
의 미분이다. (이는
g
[
1
]
{\displaystyle {\mathfrak {g}}[1]}
위에는 작용하지 않는다.)
리 대수의 베유 대수의 코호몰로지 는 등급 0을 제외하고는 모두 0이다. 이는 완전열
K
[
g
∗
]
g
→
W
(
g
)
→
CE
(
g
)
{\displaystyle K[{\mathfrak {g}}^{*}]^{\mathfrak {g}}\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}
에 속한다. 여기서
CE
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}
는
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 슈발레-에일렌베르크 대수 이다.
K
[
g
∗
]
g
{\displaystyle K[{\mathfrak {g}}^{*}]^{\mathfrak {g}}}
는
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
위의 불변 다항식들의 대수이다.
이 완전열은 리 군
G
{\displaystyle G}
의 분류 공간 의 주다발
G
↪
E
G
↠
B
G
{\displaystyle G\hookrightarrow \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G}
의 무한소 형태이다.
앙드레 베유 의 이름을 땄다.
참고 문헌 [ 편집 ]
Cartan, Henri (1951), 〈Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie〉, 《Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, 1950》, Georges Thone, Liège, 15–27쪽, MR 0042426 Reprinted in (Guillemin & Sternberg 1999 ) harv error: 대상 없음: CITEREFGuilleminSternberg1999 (help )
Guillemin, Victor W.; Sternberg, Shlomo (1999), 《Supersymmetry and equivariant de Rham theory》, Mathematics Past and Present, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64797-3 , MR 1689252
외부 링크 [ 편집 ]