근축

기하학에서 근축(根軸, 영어: radical axis)은 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자,^{:32, §45} 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다.^{:34, §49} 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다.^{:32, §45} 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 무한원 직선으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.^{:92, Remark 1.10.4}

중심이 공선점이 아닌 세 원에 의한 세 근축은 유일한 교점을 가지며, 이를 근심(根心, 영어: radical center)이라고 한다. 중심이 서로 다른 공선점인 세 원에 의한 세 근축은 서로 평행하는데, 이 경우 세 근축이 지나는 유일한 무한원점을 근심으로 삼으면 편리하다. 임의의 두 원의 근축이 같은 원들의 집합을 동축원 다발이라고 한다. 동축원 다발 속 원의 중심들은 공선점을 이루며, 임의의 두 원의 교점은 같다. 즉, 동축원 다발 속에서 어떤 두 원이 두 점에서 만날 경우 모든 두 원은 같은 두 점에서 만나며, 어떤 두 원이 접할 경우 모든 두 원은 같은 점에서 접하며, 어떤 두 원이 만나지 않을 경우 모든 두 원은 만나지 않는다.

근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 근평면(根平面, 영어: radical plane)의 개념과 $n$차원 초구의 근초평면(根超平面, 영어: radical hyperplane)의 개념을 얻는다.

정의

평면 위에서, 중심이 서로 다른 두 점 $(a,b),(a',b')$인 두 원 $C,C'$의 방정식이

$x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0$

$x^{2}+y^{2}-2a'x-2b'y+c'=0$

라고 하자. 그렇다면, $C,C'$에 대한 점 $(x,y)$의 방멱은 각각 두 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, $C,C'$에 대한 방멱이 같은 점의 자취 $l$의 방정식은

$2(a'-a)x+2(b'-b)y-(c'-c)=0$

이다. 이는 중심 $(a,b),(a',b')$을 잇는 직선의 수선이다. 이 직선 $l$을 두 원 $C,C'$의 근축이라고 한다.

한 중심 $(a',b')$이 다른 중심 $(a,b)$에 무한히 가까워질 때, 근축 $l$은 $C,C'$이 놓인 평면 위의 무한원 직선에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다.^{:92, Remark 1.10.4:32, §45} 즉, 근축은 사영 직선으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의된다. 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.^{:92, Remark 1.10.4}

위 정의는 $C,C'$ 가운데 적어도 하나가 점원이거나 허원인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱 $a^{2}-c$이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다.

근심

평면 위에서, 중심이 공선점이 아닌 세 점 $O,O',O''$인 세 원 $C,C',C''$을 생각하자. 그렇다면, 총 세 쌍의 원의 근축 $l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}$은 각각 삼각형을 이루는 중심선 $OO',O'O'',OO''$의 수선이므로, 서로 평행하지 않는다. 다시 말해 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축 $l_{C,C'},l_{C',C''}$의 교점 $P$는 $C,C',C''$에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축 $l_{C,C''}$ 위의 점이다. 따라서 세 근축 $l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}$은 공점선을 이룬다. 이들의 공통점 $P$를 세 원 $C,C',C''$의 근심이라고 한다.

세 원의 중심 $O,O',O''$이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축 $l_{C,C'},l_{C',C''},l_{C,C''}$ 가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르다고 하자. 그렇다면, 이들은 모두 직선 $OO'O''$의 수선이므로 서로 평행한다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 이 무한원점을 세 원 $C,C',C''$의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우, 편의상 $C,C'$이 동심원이고 $C''$은 이들과 동심원이 아니라고 하자. 그렇다면, $l_{C,C'}$은 무한원 직선이고 $l_{C',C''},l_{C,C''}$은 평행하므로, 세 근축은 $l_{C',C''},l_{C,C''}$의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 마찬가지로 이 무한원점을 세 원 $C,C',C''$의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 사영 평면 위의 점으로서 동축원이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다.

위와 같은 정의는 $C,C',C''$ 가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다.

성질

동심원이 아닌 두 원의 근축은 두 원의 중심선의 수선이다. 두 원 $C,C'$이 서로 다른 두 점 $P,Q$에서 만날 경우, $C,C'$의 근축은 공통 할선 $PQ$이다. 또한, 두 원 $C,C'$이 점 $T$에서 접할 경우, $C,C'$의 근축은 $T$를 지나는 공통 접선이다.

원의 중심과의 거리

중심이 $O,O'$이고 반지름이 $r,r'$인 동심원이 아닌 두 원 $C,C'$의 중심 $O,O'$과 근축 $l$ 사이의 거리는

$d(O,l)={\frac {{OO'}^{2}+r^{2}-{r'}^{2}}{2{OO'}}}$

$d(O',l)={\frac {{OO'}^{2}+{r'}^{2}-r^{2}}{2{OO'}}}$

이다.^{:32, §45}

직교원과의 관계

동심원이 아닌 두 원 $C,C'$의 공통 직교원의 중심은 $C,C'$의 근축 위의 점이다. 원 $C$의 직교원의 중심이 두 원 $C,C'$의 근축 위의 점이라면, 이는 $C'$의 직교원이다. 점 $P$가 동심원이 아닌 두 원 $C,C'$의 근축 위의 점이고, $C,C'$의 외부점이라면, 중심이 $P$인 $C,C'$의 공통 직교원은 (유일하게) 존재한다. 점 $P$가 동심원이 아닌 두 원 $C,C'$의 근축 위의 점이고, $C,C'$의 내부점이라면, 중심이 $P$이고 $C$와의 공통 할선과 $C'$와의 공통 할선을 두 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재한다.

중심이 공선점이 아닌 세 원 $C,C',C''$의 근심이 $C,C',C''$의 외부점이라면, $C,C',C''$의 공통 직교원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 $C,C',C''$의 근심이다.^{:34, §49} 중심이 공선점이 아닌 세 원 $C,C',C''$의 근심이 $C,C',C''$의 내부점이라면, $C$와의 공통 할선과 $C'$와의 공통 할선 그리고 $C''$와의 공통 할선을 세 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 $C,C',C''$의 근심이다.^{:34, §49}

동축원 다발

 이 부분의 본문은 동축원 다발입니다.

평면 위에서, 서로 다른 두 점 $(a,b),(a',b')$을 중심으로 갖는 두 원 $C,C'$의 방정식이

$x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0$

$x^{2}+y^{2}-2a'x-2b'y+c'=0$

이고, $C,C'$의 근축이 $l$이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원 $C''$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $C''=C$이거나, $C''$와 $C$의 근축은 $l$이다.
• $C''=C'$이거나, $C''$와 $C'$의 근축은 $l$이다.
• $C''$는 $C$와 $C'$으로 생성되는 동축원 다발의 원소이다. 즉, $C''$는 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는다.
  $\lambda (x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c)+\lambda '(x^{2}+y^{2}-2a'x-2b'y+c')=0$
  여기서 $\lambda ,\lambda '$은 실수이며, $\lambda ^{2}+{\lambda '}^{2}\neq 0$과 $\lambda +\lambda '\neq 0$을 만족시킨다.

'동축원 다발'이라는 이름은 이러한 사실 때문이다. 동축원 다발 속의 원의 중심들은 공선점이다. 동심원이 아닌 두 원 $C,C'$으로 생성된 동축원 다발을 ${\mathcal {C}}$라고 하면, ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 서로 다른 두 원 $C'',C'''\in {\mathcal {C}}$에 대하여, $C'',C'''$으로 생성되는 동축원 다발 역시 ${\mathcal {C}}$이다.

분류

 이 부분의 본문은 동축원 다발 § 분류입니다.

동심원이 아닌 두 원으로 생성된 공축 원다발 ${\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {C}}$의 근축은 ${\mathcal {C}}$의 유일한 직선 원소이다. 적절한 데카르트 좌표계를 취하여 ${\mathcal {C}}$의 중심선을 $x$축으로 삼고 근축을 $y$축으로 삼았을 때, ${\mathcal {C}}$의 원소는 (근축인 $y$축을 제외하면) 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 구성된다.

$x^{2}+y^{2}-2ax+c=0$

여기서 $c\in \mathbb {R}$는 고정된 상수이며, $a\in \mathbb {R}$는 매개변수이다. 만약 $c<0$이라면 ${\mathcal {C}}$를 타원형 동축원 다발이라고 하고, 만약 $c=0$이라면 ${\mathcal {C}}$를 포물형 동축원 다발이라고 하며, 만약 $c>0$이라면 ${\mathcal {C}}$를 쌍곡형 동축원 다발이라고 한다.

직교 동축원 다발

 이 부분의 본문은 동축원 다발 § 직교 동축원 다발입니다.

동심원이 아닌 두 원 $C,C'$의 공통 직교원은 $C,C'$으로 생성된 동축원 다발 속 모든 원의 공통 직교원이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$의 모든 원의 공통 직교원은 중심선이 ${\mathcal {C}}$의 근축이고 근축이 ${\mathcal {C}}$의 중심선인 동축원 다발을 이룬다. 이를 동축원 다발 ${\mathcal {C}}$의 직교 동축원 다발 ${\mathcal {C}}^{\perp }$이라고 한다. 동축원 다발의 직교는 대칭 관계이다. 즉, ${\mathcal {C}}^{\perp \perp }={\mathcal {C}}$가 성립한다. 위와 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.

$x^{2}+y^{2}-2by-c=0$

여기서 $b\in \mathbb {R}$는 매개변수이다. 특히, 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 각각 쌍곡형·포물형·타원형 동축원 다발이다.

작도

적어도 하나의 교점을 갖는 동심원이 아닌 두 원의 근축의 작도는 자명하다.

중심이 서로 다른 두 점 $O,O'$인 교점 없는 두 원 $C,C'$이 주어졌다고 하자. 중심이 직선 $OO'$ 위의 점이 아니고, 원 $C$와 두 점 $A,B$에서 만나고, 원 $C'$과 두 점 $A',B'$에서 만나는 원 $C''$을 작도하자. 그렇다면, 직선 $AB$와 $A'B'$은 평행하지 않는다. 직선 $AB$와 $A'B'$의 교점을 $P$라고 하자. 그렇다면, $P$는 $C,C'$의 근축 위의 점이다. 점 $P$를 지나는 직선 $OO'$의 수선 $l$을 작도하자. 그렇다면, 직선 $l$은 두 원 $C,C'$의 근축이다.^{:301, §10.7.10.1}

고차원의 경우

근초평면

$n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에서, 서로 다른 두 점 $a,a'\in \mathbb {R} ^{n}$을 중심으로 하고, $r,r'>0$을 반지름으로 갖는 두 초구 $S,S'$를 생각하자. 그렇다면, 집합

$\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \Vert x-a\Vert ^{2}-r^{2}=\Vert x-a'\Vert ^{2}-{r'}^{2}\}$

은 중심 $a,a'$를 잇는 직선에 직교하는 초평면을 이룬다. (여기서 등식의 좌변과 우변은 각각 $x$의 $S,S'$에 대한 방멱에 대응하며, $\Vert \cdot \Vert$는 $\mathbb {R} ^{n}$의 표준적인 노름을 나타낸다.) 이를 두 초구 $S,S'$의 근초평면이라고 한다.^{:301, §10.7.10.1} 특히 $n=2,3$일 경우 각각 두 원의 근축 또는 두 구의 근평면이라고 부른다.

$n$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에서, 같은 초평면 위에 있지 않은 점 $a_{1},\dots ,a_{n+1}\in \mathbb {R} ^{n}$을 중심으로 하는 $n+1$개의 초구 $S_{1},\dots ,S_{n+1}$을 생각하자. 그렇다면, 각 쌍의 초구의 근초평면은 유일한 교점을 가진다. 이를 $n+1$개의 $n$차원 초구 $S_{1},\dots ,S_{n+1}$의 근심이라고 한다.^{:301-302, §10.7.10.2}

외부 링크

• “Radical axis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Radical line”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.